同济高数 第4章 第4-5-20题
📝 题目
20． $\displaystyle{\int} \frac{1}{2+5 \cos x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求不定积分 $$ \int \frac{1}{2+5\cos x}\, dx. $$ 这是一个有理形式的三角函数积分，常用**万能代换**（Weierstrass代换）处理。令 $$ t = \tan\frac{x}{2}, $$ 则有 $$ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2}\, dt. $$ 代入原积分： $$ \int \frac{1}{2+5\cos x}\, dx = \int \frac{1}{2+5\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2}\, dt. $$ 先化简分母： $$ 2 + 5\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac{2(1+t^2) + 5(1-t^2)}{1+t^2} = \frac{2+2t^2+5-5t^2}{1+t^2} = \frac{7 - 3t^2}{1+t^2}. $$ 因此积分变为 $$ \int \frac{1}{\frac{7-3t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2}\, dt = \int \frac{1+t^2}{7-3t^2} \cdot \frac{2}{1+t^2}\, dt = \int \frac{2}{7-3t^2}\, dt. $$ 提出常数： $$ = 2 \int \frac{1}{7-3t^2}\, dt. $$ 将分母写成平方差形式： $$ 7-3t^2 = 3\left( \frac{7}{3} - t^2 \right) = 3\left( \left(\sqrt{\frac{7}{3}}\right)^2 - t^2 \right). $$ 于是 $$ 2 \int \frac{1}{7-3t^2}\, dt = \frac{2}{3} \int \frac{1}{\left(\sqrt{\frac{7}{3}}\right)^2 - t^2}\, dt. $$ 利用公式 $$ \int \frac{1}{a^2 - t^2}\, dt = \frac{1}{2a} \ln\left| \frac{a+t}{a-t} \right| + C, $$ 其中 $ a = \sqrt{\frac{7}{3}} $，得到 $$ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2a} \ln\left| \frac{a+t}{a-t} \right| + C = \frac{1}{3a} \ln\left| \frac{a+t}{a-t} \right| + C. $$ 代回 $ a = \sqrt{\frac{7}{3}} $ 和 $ t = \tan\frac{x}{2} $： $$ \frac{1}{3\sqrt{\frac{7}{3}}} \ln\left| \frac{\sqrt{\frac{7}{3}} + \tan\frac{x}{2}}{\sqrt{\frac{7}{3}} - \tan\frac{x}{2}} \right| + C = \frac{1}{\sqrt{21}} \ln\left| \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}\tan\frac{x}{2}} \right| + C. $$
因此最终结果为： $$ \boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{21}} \ln\left| \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}\tan\frac{x}{2}} \right| + C}. $$
难度评级：★★★☆☆ （涉及万能代换、有理函数积分、对数公式，步骤稍多但思路常规）