同济高数 第5章 第5-2-13题

[AI解答]

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首先，根据 $ f(x) $ 的分段定义，我们需要分段计算积分 $$ \Phi(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t $$ 在区间 $[0,2]$ 上的表达式。

**第一步：当 $ x \in [0,1) $ 时** 此时 $ t \in [0,x] \subseteq [0,1) $，所以 $ f(t) = t^{2} $。 因此 $$ \Phi(x) = \int_{0}^{x} t^{2} \, \mathrm{d}t = \left[ \frac{t^{3}}{3} \right]_{0}^{x} = \frac{x^{3}}{3}. $$

**第二步：当 $ x \in [1,2] $ 时** 此时积分区间要分成两段：从 0 到 1 用 $ t^{2} $，从 1 到 $ x $ 用 $ t $。 所以 $$ \Phi(x) = \int_{0}^{1} t^{2} \, \mathrm{d}t + \int_{1}^{x} t \, \mathrm{d}t. $$ 先计算第一部分： $$ \int_{0}^{1} t^{2} \, \mathrm{d}t = \left[ \frac{t^{3}}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}. $$ 第二部分： $$ \int_{1}^{x} t \, \mathrm{d}t = \left[ \frac{t^{2}}{2} \right]_{1}^{x} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}. $$ 因此 $$ \Phi(x) = \frac{1}{3} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{6}. $$

综上，$\Phi(x)$ 在 $[0,2]$ 上的表达式为： $$ \Phi(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{3}}{3}, & 0 \le x < 1,\$$1em] \displaystyle \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{6}, & 1 \le x \le 2. \end{cases} $$

**第三步：讨论连续性** 在 $(0,2)$ 内，除了可能的分段点 $x=1$ 之外，$\Phi(x)$ 在两个开区间 $(0,1)$ 和 $(1,2)$ 上都是初等函数，显然连续。 现在检查 $x=1$ 处的连续性：

左极限： $$ \lim_{x \to 1^{-}} \Phi(x) = \frac{1^{3}}{3} = \frac{1}{3}. $$ 右极限： $$ \lim_{x \to 1^{+}} \Phi(x) = \frac{1^{2}}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}. $$ 且 $\Phi(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$，左右极限相等且等于函数值，因此 $\Phi(x)$ 在 $x=1$ 处也连续。

所以 $\Phi(x)$ 在 $(0,2)$ 内处处连续。

难度：★☆☆☆☆