同济高数 第5章 第5-2-14题
📝 题目
14．设
$$ f(x)= \begin{cases}\frac{1}{2} \sin x, & 0 \leqslant x \leqslant \pi, \\ 0, & x\lt 0 \text { 或 } x\gt \pi .\end{cases} $$
求 $\Phi(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的表达式．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知函数
$$ f(t)= \begin{cases} \frac12 \sin t, & 0 \le t \le \pi, \\ 0, & t<0 \text{ 或 } t>\pi . \end{cases} $$
要求
$$ \Phi(x)=\int_{0}^{x} f(t)\, \mathrm{d}t $$
在整个实数轴上的表达式，需要分区间讨论。
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**第一步：当 $x < 0$ 时** 积分区间 $[0, x]$ 是反向的，但由定义：
$$ \Phi(x)=\int_{0}^{x} f(t)\, \mathrm{d}t = -\int_{x}^{0} f(t)\, \mathrm{d}t $$
当 $t<0$ 时，$f(t)=0$，所以
$$ \int_{x}^{0} 0\, \mathrm{d}t = 0 \quad\Rightarrow\quad \Phi(x)=0. $$
因此当 $x<0$ 时，$\Phi(x)=0$。
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**第二步：当 $0 \le x \le \pi$ 时** 此时积分区间 $[0,x]$ 完全落在 $f(t)=\frac12\sin t$ 的定义范围内，因此
$$ \Phi(x) = \int_{0}^{x} \frac12 \sin t \, \mathrm{d}t = \frac12 \left[-\cos t\right]_{0}^{x} = \frac12 \bigl( -\cos x + \cos 0 \bigr) = \frac12 (1 - \cos x). $$
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**第三步：当 $x > \pi$ 时** 此时积分区间 $[0,x]$ 可分为 $[0,\pi]$ 和 $[\pi, x]$ 两部分：
$$ \Phi(x) = \int_{0}^{\pi} \frac12 \sin t \, \mathrm{d}t + \int_{\pi}^{x} 0 \, \mathrm{d}t. $$
第一部分我们已经算过：
$$ \int_{0}^{\pi} \frac12 \sin t \, \mathrm{d}t = \frac12 (1 - \cos\pi) = \frac12 (1 - (-1)) = \frac12 \cdot 2 = 1. $$
第二部分为0，因此当 $x>\pi$ 时，$\Phi(x)=1$。
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**第四步：综合结果**
$$ \boxed{ \Phi(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\$$4pt] \displaystyle \frac12 (1-\cos x), & 0\le x\le\pi,\$$8pt] 1, & x>\pi . \end{cases} } $$
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**难度评级**：★☆☆☆☆ 本题只需分段积分，无复杂技巧，注意分段点即可。