同济高数 第6章 第6-2-29题
📝 题目
29．求对数螺线 $\rho=\mathrm{e}^{a \theta}$ 相应于 $0 \leqslant \theta \leqslant \varphi$ 的一段弧长．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要求对数螺线 $\rho = e^{a\theta}$ 在 $\theta$ 从 $0$ 到 $\varphi$ 的弧长。 极坐标下弧长公式为：
$$ s = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{ \rho^2 + \left( \frac{d\rho}{d\theta} \right)^2 } \, d\theta $$
首先计算导数：
$$ \frac{d\rho}{d\theta} = a e^{a\theta} $$
于是被积函数为：
$$ \sqrt{ \rho^2 + \left( \frac{d\rho}{d\theta} \right)^2 } = \sqrt{ e^{2a\theta} + a^2 e^{2a\theta} } = e^{a\theta} \sqrt{1 + a^2} $$
因此弧长：
$$ s = \int_{0}^{\varphi} e^{a\theta} \sqrt{1 + a^2} \, d\theta = \sqrt{1 + a^2} \int_{0}^{\varphi} e^{a\theta} \, d\theta $$
计算积分：
$$ \int_{0}^{\varphi} e^{a\theta} \, d\theta = \frac{1}{a} \left( e^{a\varphi} - 1 \right) $$
所以：
$$ s = \frac{\sqrt{1 + a^2}}{a} \left( e^{a\varphi} - 1 \right) $$
这就是所求弧长公式。
难度：★★☆☆☆ （主要考察极坐标弧长公式与简单指数积分，计算量小，但需注意公式记忆）