同济高数 第6章 第6-2-3题

[AI解答]

[AI解答] 首先，求抛物线在给定点处的切线方程。 抛物线为 $$ y = -x^2 + 4x - 3 $$ 求导得 $$ y' = -2x + 4 $$

在点 $(0, -3)$ 处，斜率 $$ k_1 = -2\cdot 0 + 4 = 4 $$ 切线方程为 $$ y + 3 = 4(x - 0) \quad\Rightarrow\quad y = 4x - 3 $$

在点 $(3, 0)$ 处，斜率 $$ k_2 = -2\cdot 3 + 4 = -2 $$ 切线方程为 $$ y - 0 = -2(x - 3) \quad\Rightarrow\quad y = -2x + 6 $$

现在求两条切线的交点： 解 $$ 4x - 3 = -2x + 6 $$ 得 $$ 6x = 9 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{3}{2} $$ 代入得 $$ y = 4\cdot\frac{3}{2} - 3 = 6 - 3 = 3 $$ 所以交点为 $\left(\frac{3}{2}, 3\right)$。

所求图形是由抛物线及两条切线围成的封闭区域。 该区域在 $x$ 方向可以分为两段： - 从 $x=0$ 到 $x=\frac{3}{2}$，上方是切线 $y = 4x - 3$，下方是抛物线 $y = -x^2 + 4x - 3$； - 从 $x=\frac{3}{2}$ 到 $x=3$，上方是切线 $y = -2x + 6$，下方是抛物线 $y = -x^2 + 4x - 3$。

因此面积为 $$ S = \displaystyle{\int_{0}^{\frac{3}{2}} \left[(4x - 3) - (-x^2 + 4x - 3)\right] dx} + \displaystyle{\int_{\frac{3}{2}}^{3} \left[(-2x + 6) - (-x^2 + 4x - 3)\right] dx} $$

先化简第一个被积函数： $$ (4x - 3) - (-x^2 + 4x - 3) = 4x - 3 + x^2 - 4x + 3 = x^2 $$

第二个被积函数： $$ (-2x + 6) - (-x^2 + 4x - 3) = -2x + 6 + x^2 - 4x + 3 = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 $$

于是 $$ S = \displaystyle{\int_{0}^{\frac{3}{2}} x^2 \, dx} + \displaystyle{\int_{\frac{3}{2}}^{3} (x - 3)^2 \, dx} $$

计算： $$ \int_{0}^{\frac{3}{2}} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{8} $$

对于第二部分，令 $u = x - 3$，则当 $x = \frac{3}{2}$ 时 $u = -\frac{3}{2}$，当 $x = 3$ 时 $u = 0$， $$ \int_{\frac{3}{2}}^{3} (x - 3)^2 \, dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{0} u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-\frac{3}{2}}^{0} = 0 - \frac{1}{3}\left(-\frac{27}{8}\right) = \frac{9}{8} $$

所以总面积 $$ S = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{9}{4} $$

因此，所求图形面积为 $\displaystyle \frac{9}{4}$。

难度：★★☆☆☆