同济高数 第6章 第6-3-5题
📝 题目
5．用铁锤将一铁钉击人木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉被击人木板的深度成正比，在锤击第一次时，将铁钉击人木板 1 cm 。如果铁锤每次锤击铁钉所做的功相等，问锤击第二次时，铁钉又被击人木板多少？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设铁钉击入木板的深度为 $x$（单位：cm），木板对铁钉的阻力为 $F(x)$，由题意知阻力与深度成正比，即 $$ F(x) = kx $$ 其中 $k>0$ 为比例常数。
铁锤击打铁钉所做的功等于克服阻力所做的功。当铁钉从深度 $0$ 击入到深度 $a$ 时，所做的功为 $$ W = \int_{0}^{a} F(x)\,dx = \int_{0}^{a} kx\,dx = \frac{1}{2} k a^{2}. $$
第一次锤击将铁钉击入 1 cm，因此第一次所做的功为 $$ W_1 = \frac{1}{2}k \cdot 1^{2} = \frac{k}{2}. $$
设第二次锤击后，铁钉总共被击入的深度为 $h$ cm，那么第二次锤击所做的功等于从深度 1 cm 到深度 $h$ 克服阻力所做的功，即 $$ W_2 = \int_{1}^{h} kx\,dx = \frac{1}{2}k(h^{2} - 1^{2}) = \frac{k}{2}(h^{2} - 1). $$
由题意，每次锤击所做的功相等，即 $$ W_1 = W_2, $$ 于是 $$ \frac{k}{2} = \frac{k}{2}(h^{2} - 1). $$ 两边约去 $\frac{k}{2}$（$k>0$），得 $$ 1 = h^{2} - 1, $$ 即 $$ h^{2} = 2, $$ 所以 $$ h = \sqrt{2} \quad (\text{取正值}). $$
因此第二次锤击又将铁钉击入的深度为 $$ h - 1 = \sqrt{2} - 1 \ (\text{cm}). $$
答：第二次锤击又将铁钉击入 $(\sqrt{2} - 1)$ cm。
难度：★★☆☆☆