同济高数 第6章 第6-3-6题
📝 题目
6．设一圆锥形贮水池，深 15 m ，口径 20 m ，盛满水，今以泉将水吸尽，问要做多少功？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知圆锥形贮水池深 $h = 15\,\text{m}$，口径直径 $20\,\text{m}$，即半径 $R = 10\,\text{m}$。 盛满水，水的密度 $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$，重力加速度 $g = 9.8\,\text{m/s}^2$。
将圆锥顶点朝下放置（便于建立坐标系），取坐标系原点在顶点，竖直向上为 $y$ 轴正方向。 则在水深 $y$ 处（从顶点算起），圆锥的半径与深度成正比： $$ \frac{r(y)}{y} = \frac{R}{h} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} $$ 所以 $$ r(y) = \frac{2}{3}y $$
考虑深度 $y$ 处厚度为 $dy$ 的薄层水，该层距顶点 $y$，距池口（水面）为 $15 - y$。 该薄层体积微元： $$ dV = \pi [r(y)]^2 dy = \pi \left(\frac{2}{3}y\right)^2 dy = \frac{4\pi}{9} y^2 dy $$ 质量微元： $$ dm = \rho dV = 1000 \cdot \frac{4\pi}{9} y^2 dy $$ 将这一层水提升到池口（高度 $y=15$ 处）需克服重力做功，提升高度为 $(15 - y)$，因此功微元： $$ dW = g \cdot dm \cdot (15 - y) = 9.8 \cdot 1000 \cdot \frac{4\pi}{9} y^2 (15 - y) dy $$ 即 $$ dW = \frac{39200\pi}{9} y^2 (15 - y) dy $$
总功为从 $y=0$ 到 $y=15$ 积分： $$ W = \int_{0}^{15} \frac{39200\pi}{9} y^2 (15 - y) \, dy $$ $$ = \frac{39200\pi}{9} \int_{0}^{15} (15y^2 - y^3) \, dy $$ 计算积分： $$ \int_{0}^{15} 15y^2 \, dy = 15 \cdot \frac{y^3}{3} \Big|_{0}^{15} = 5 \cdot 15^3 = 5 \cdot 3375 = 16875 $$ $$ \int_{0}^{15} y^3 \, dy = \frac{y^4}{4} \Big|_{0}^{15} = \frac{15^4}{4} = \frac{50625}{4} = 12656.25 $$ 所以 $$ \int_{0}^{15} (15y^2 - y^3) dy = 16875 - 12656.25 = 4218.75 = \frac{16875}{4} $$ 因此 $$ W = \frac{39200\pi}{9} \cdot \frac{16875}{4} = \frac{39200 \cdot 16875}{36} \pi $$ 化简： $$ \frac{39200}{36} = \frac{9800}{9} $$ 所以 $$ W = \frac{9800 \cdot 16875}{9} \pi $$ 计算 $16875 / 9 = 1875$，因此 $$ W = 9800 \cdot 1875 \pi = 18\,375\,000 \pi \quad (\text{J}) $$ 取 $\pi \approx 3.1416$，得 $$ W \approx 18\,375\,000 \times 3.1416 \approx 57\,726\,450 \, \text{J} $$
因此，将水全部吸出需做功约 $5.77 \times 10^7$ 焦耳。
难度：★★☆☆☆