同济高数 第7章 第7-3-3题

[AI解答]

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设曲线弧 $\overparen{OA}$ 的方程为 $y = f(x)$，其中 $f(0)=0$，$f(1)=1$，且曲线向上凸（即 $f''(x) < 0$）。 任取曲线上一点 $P(x, y)$，其中 $y = f(x)$。

曲线弧 $\overparen{OP}$ 与直线段 $\overline{OP}$ 所围图形的面积，等于曲线 $y=f(t)$ 从 $0$ 到 $x$ 的曲边梯形面积减去三角形 $\triangle O P$ 的面积。

曲边梯形面积（从 $0$ 到 $x$ 曲线下的面积）为： $$ \int_{0}^{x} f(t) \, dt $$ 三角形 $\triangle O P$ 的面积为： $$ \frac{1}{2} \cdot x \cdot f(x) $$ 根据题意，两者之差等于 $x^2$，即： $$ \int_{0}^{x} f(t) \, dt - \frac{1}{2} x f(x) = x^{2} $$

两边对 $x$ 求导（注意使用莱布尼茨法则）： $$ f(x) - \frac{1}{2} f(x) - \frac{1}{2} x f'(x) = 2x $$ 化简得： $$ \frac{1}{2} f(x) - \frac{1}{2} x f'(x) = 2x $$ 两边乘以 2： $$ f(x) - x f'(x) = 4x $$ 整理成标准形式： $$ - x f'(x) + f(x) = 4x $$ 即： $$ f'(x) - \frac{1}{x} f(x) = -4 $$

这是一阶线性微分方程，其通解公式为： $$ f(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} \left( \int (-4) e^{-\int \frac{1}{x} dx} dx + C \right) $$ 计算： $$ e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x $$ $$ e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x} $$ 于是： $$ f(x) = x \left( \int -4 \cdot \frac{1}{x} dx + C \right) = x \left( -4 \ln x + C \right) $$

利用初始条件 $f(1)=1$ 得： $$ 1 = 1 \cdot (-4 \ln 1 + C) = C $$ 所以 $C=1$，因此： $$ f(x) = x(1 - 4\ln x) $$

检查 $f(0)$：当 $x \to 0^+$ 时，$x \ln x \to 0$，所以 $f(0)=0$，满足条件。 另外，曲线向上凸需验证 $f''(x)<0$，此处略，但符合题意。

因此曲线弧 $\overparen{OA}$ 的方程为： $$ \boxed{y = x(1 - 4\ln x)} $$

难度：★★★☆☆