同济高数 第7章 第7-3-*4题
📝 题目
＊4．化下列方程为齐次方程，并求出通解： （1）$(2 x-5 y+3) \mathrm{d} x-(2 x+4 y-6) \mathrm{d} y=0$ ； （2）$(x-y-1) \mathrm{d} x+(4 y+x-1) \mathrm{d} y=0$ ； （3）$(3 y-7 x+7) \mathrm{d} x+(7 y-3 x+3) \mathrm{d} y=0$ ； （4）$(x+y) \mathrm{d} x+(3 x+3 y-4) \mathrm{d} y=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们逐一解答这四个方程，通过平移变换化为齐次方程，再求解通解。
---
### （1） 方程： $$ (2x - 5y + 3) \mathrm{d}x - (2x + 4y - 6) \mathrm{d}y = 0 $$ 改写为： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{2x - 5y + 3}{2x + 4y - 6} $$ 解方程组： $$ \begin{cases} 2x - 5y + 3 = 0 \\ 2x + 4y - 6 = 0 \end{cases} $$ 两式相减得： $$ -9y + 9 = 0 \Rightarrow y = 1 $$ 代入得： $$ 2x - 5 + 3 = 0 \Rightarrow x = 1 $$ 故平移变换： $$ X = x - 1,\quad Y = y - 1 $$ 原方程化为齐次： $$ \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = \frac{2X - 5Y}{2X + 4Y} $$ 令 $u = \frac{Y}{X}$，则 $Y = uX$，$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = u + X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X}$，代入： $$ u + X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = \frac{2 - 5u}{2 + 4u} $$ 整理： $$ X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = \frac{2 - 5u}{2 + 4u} - u = \frac{2 - 5u - 2u - 4u^2}{2 + 4u} = \frac{2 - 7u - 4u^2}{2 + 4u} $$ 分离变量： $$ \frac{2 + 4u}{2 - 7u - 4u^2} \mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}X}{X} $$ 分解分母： $$ 2 - 7u - 4u^2 = -(4u^2 + 7u - 2) = -(4u - 1)(u + 2) $$ 所以： $$ \frac{2 + 4u}{-(4u - 1)(u + 2)} \mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}X}{X} $$ 用部分分式： $$ \frac{2 + 4u}{(4u - 1)(u + 2)} = \frac{A}{4u - 1} + \frac{B}{u + 2} $$ 解得 $A = \frac{2}{3}$，$B = \frac{2}{3}$，于是： $$ -\frac{2}{3}\left( \frac{1}{4u - 1} + \frac{1}{u + 2} \right) \mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}X}{X} $$ 积分： $$ -\frac{2}{3} \left( \frac{1}{4} \ln|4u - 1| + \ln|u + 2| \right) = \ln|X| + C $$ 即： $$ -\frac{1}{6} \ln|4u - 1| - \frac{2}{3} \ln|u + 2| = \ln|X| + C $$ 乘以6： $$ -\ln|4u - 1| - 4\ln|u + 2| = 6\ln|X| + C_1 $$ 即： $$ \ln\left| \frac{1}{(4u - 1)(u + 2)^4} \right| = \ln|X^6| + C_1 $$ 所以： $$ \frac{1}{(4u - 1)(u + 2)^4} = C_2 X^6 $$ 代回 $u = \frac{Y}{X}$，$Y = y - 1$，$X = x - 1$： $$ \frac{1}{\left(4\frac{y-1}{x-1} - 1\right)\left(\frac{y-1}{x-1} + 2\right)^4} = C_2 (x-1)^6 $$ 整理得通解： $$ (x-1)^6 = C \cdot \frac{(x-1)^5}{(4(y-1)-(x-1))((y-1)+2(x-1))^4} $$ 更简洁形式： $$ (4y - x - 3)(y + 2x - 3)^4 = C $$
---
### （2） 方程： $$ (x - y - 1) \mathrm{d}x + (4y + x - 1) \mathrm{d}y = 0 $$ 即： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{x - y - 1}{x + 4y - 1} $$ 解方程组： $$ \begin{cases} x - y - 1 = 0 \\ x + 4y - 1 = 0 \end{cases} $$ 相减得： $$ -5y = 0 \Rightarrow y = 0,\quad x = 1 $$ 令 $X = x - 1$，$Y = y$，则： $$ \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = -\frac{X - Y}{X + 4Y} $$ 令 $u = \frac{Y}{X}$： $$ u + X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = -\frac{1 - u}{1 + 4u} $$ 整理： $$ X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = -\frac{1 - u}{1 + 4u} - u = \frac{-1 + u - u - 4u^2}{1 + 4u} = -\frac{1 + 4u^2}{1 + 4u} $$ 分离： $$ \frac{1 + 4u}{1 + 4u^2} \mathrm{d}u = -\frac{\mathrm{d}X}{X} $$ 积分： $$ \int \frac{1}{1 + 4u^2} \mathrm{d}u + \int \frac{4u}{1 + 4u^2} \mathrm{d}u = -\ln|X| + C $$ 即： $$ \frac{1}{2} \arctan(2u) + \frac{1}{2} \ln(1 + 4u^2) = -\ln|X| + C $$ 乘以2： $$ \arctan(2u) + \ln(1 + 4u^2) = -2\ln|X| + C_1 $$ 代回 $u = Y/X$，$Y = y$，$X = x - 1$： $$ \arctan\left( \frac{2y}{x-1} \right) + \ln\left(1 + \frac{4y^2}{(x-1)^2}\right) = -2\ln|x-1| + C_1 $$ 合并对数： $$ \arctan\left( \frac{2y}{x-1} \right) + \ln\left( (x-1)^2 + 4y^2 \right) = C $$ 即为通解。
---
### （3） 方程： $$ (3y - 7x + 7) \mathrm{d}x + (7y - 3x + 3) \mathrm{d}y = 0 $$ 即： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{3y - 7x + 7}{7y - 3x + 3} $$ 解方程组： $$ \begin{cases} 3y - 7x + 7 = 0 \\ 7y - 3x + 3 = 0 \end{cases} $$ 解：第一式乘3，第二式乘7： $$ 9y - 21x + 21 = 0,\quad 49y - 21x + 21 = 0 $$ 相减得： $$ 40y = 0 \Rightarrow y = 0,\quad x = 1 $$ 令 $X = x - 1$，$Y = y$，则： $$ \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = -\frac{3Y - 7X}{7Y - 3X} $$ 令 $u = Y/X$： $$ u + X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = -\frac{3u - 7}{7u - 3} $$ 整理： $$ X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = -\frac{3u - 7}{7u - 3} - u = \frac{-3u + 7 - 7u