新讲 第2章 极 限 第6题
📝 题目
例 6 已知 $\displaystyle{\lim {x}_{n} = a}$ ,求证
$$ \lim \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n}}{n} = a. $$
💡 答案解析
证明 设 ${\alpha }_{n} = {x}_{n} - a,n = 1,2,\cdots$ . 则 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列. 我们有
$$ \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n}}{n} = a + \frac{{\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n}}{n}. $$
由 §1 中
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：引入无穷小序列
设 α_n = x_n - a，则 {α_n} 是无穷小序列，因为 lim x_n = a。
公式：α_n = x_n - a
提示：将极限问题转化为无穷小序列的和的极限问题。
步骤 2/4
目标：将和式改写为 a 加上无穷小序列的平均值
计算 (x_1+...+x_n)/n = (a+α_1 + ... + a+α_n)/n = a + (α_1+...+α_n)/n。
公式：\frac{x_1+\cdots+x_n}{n} = a + \frac{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}{n}
提示：利用线性性质分离出常数 a。
步骤 3/4
目标：证明无穷小序列的平均值趋于0
由于 {α_n} 是无穷小序列，即 lim α_n = 0，根据已知结论（或利用定义证明），其前n项算术平均值也趋于0，即 lim (α_1+...+α_n)/n = 0。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}{n} = 0
提示：这是无穷小序列的一个性质：若数列趋于0，则其算术平均值也趋于0。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，lim (x_1+...+x_n)/n = a + 0 = a。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{x_1+\cdots+x_n}{n} = a
提示：利用极限的加法法则。
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