新讲 第2章 极 限 第7题
📝 题目
例 7 求证对于 $0 < b \leq 1$ ,也有
$$ \lim \sqrt[n]{b} = 1\text{ . } $$
💡 答案解析
证明 $b = 1$ 的情形是显然的. 只需考虑 $0 < b < 1$ 的情形. 在
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将问题转化为证明极限为1
当b=1时，显然√[n]{1}=1，极限为1。当0
提示：分情况讨论，b=1平凡，重点处理0
步骤 2/4
目标：构造不等式并利用夹逼定理
令a_n = √[n]{b} - 1，则a_n > 0。由二项式定理，(1+a_n)^n = b，展开得1 + n a_n + ... > n a_n，故0 < a_n < (1-b)/n。
公式：(1+a_n)^n = b > 1 + n a_n ⇒ a_n < (b-1)/n? 注意b<1，正确推导：b = (1+a_n)^n > 1 + n a_n ⇒ a_n < (b-1)/n，但b-1<0，需调整。实际上b<1时，令b=1/(1+c_n)^n，则√[n]{b}=1/(1+c_n)，更简单。
提示：注意b<1时，直接二项式展开会导致不等式方向问题，建议用倒数处理。
步骤 3/4
目标：采用倒数变换简化
由于00，则√[n]{b}=1/(1+c_n)。由b=1/(1+c_n)^n得(1+c_n)^n=1/b>1，且(1+c_n)^n > 1 + n c_n，故1/b > 1 + n c_n，解得0 < c_n < (1/b - 1)/n。因此0 < 1 - √[n]{b} = 1 - 1/(1+c_n) = c_n/(1+c_n) < c_n < (1/b - 1)/n → 0。由夹逼定理得lim √[n]{b}=1。
公式：b = 1/(1+c_n)^n, (1+c_n)^n > 1 + n c_n ⇒ c_n < (1/b - 1)/n
提示：倒数变换将b<1转化为b>1的情形，避免不等式方向问题。
步骤 4/4
目标：应用夹逼定理得出结论
由0 < 1 - √[n]{b} < (1/b - 1)/n，且(1/b - 1)/n → 0，故lim (1 - √[n]{b}) = 0，即lim √[n]{b}=1。
公式：0 < 1 - √[n]{b} < (1/b - 1)/n → 0
提示：夹逼定理：两边极限为0，中间极限也为0。
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