新讲 第6章 定积分 第4题
📝 题目
例 4 求极限
$$ \lim \left( {\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{2n}}\right) . $$
💡 答案解析
解 我们可以把
$$ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{n + k} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{1 + \frac{k}{n}} \cdot \frac{1}{n} $$
看成是函数 $\frac{1}{1 + x}$ 在区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上的积分和,于是
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{n + k} = {\int }_{0}^{1}\frac{1}{1 + x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\left. \ln \left( 1 + x\right) \right| }_{0}^{1} = \ln 2. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将求和表达式转化为积分和的形式
将原极限中的求和项改写为：∑_{k=1}^n 1/(n+k) = ∑_{k=1}^n 1/(1 + k/n) * 1/n。这可以看作是函数 f(x)=1/(1+x) 在区间 [0,1] 上的一个积分和，其中分割点为 k/n，每个子区间长度为 1/n。
公式：∑_{k=1}^n 1/(n+k) = ∑_{k=1}^n 1/(1 + k/n) * 1/n
提示：注意将分母中的 n 提取出来，使得每一项都包含 k/n 的形式，以便与定积分的定义对应。
步骤 2/3
目标：应用定积分的定义求极限
根据定积分的定义，当 n→∞ 时，上述积分和的极限等于函数 f(x)=1/(1+x) 在 [0,1] 上的定积分。因此，原极限 = ∫_0^1 1/(1+x) dx。
公式：lim_{n→∞} ∑_{k=1}^n 1/(1 + k/n) * 1/n = ∫_0^1 1/(1+x) dx
提示：确保积分区间和分割方式正确：区间 [0,1] 被 n 等分，每个小区间长度为 1/n，取右端点 x_k = k/n。
步骤 3/3
目标：计算定积分
计算定积分 ∫_0^1 1/(1+x) dx。该积分的原函数为 ln(1+x)，代入上下限得 ln(1+1) - ln(1+0) = ln2 - 0 = ln2。
公式：∫_0^1 1/(1+x) dx = ln(1+x)|_0^1 = ln2
提示：注意 ln(1) = 0，所以结果为 ln2。
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