新讲 第6章 定积分 第5题
📝 题目
例 5 求极限
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\left( {\frac{n}{{n}^{2} + {1}^{2}} + \frac{n}{{n}^{2} + {2}^{2}} + \cdots + \frac{n}{2{n}^{2}}}\right) $$
💡 答案解析
解 我们可以把
$$ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{n}{{n}^{2} + {k}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{1 + {\left( \frac{k}{n}\right) }^{2}} \cdot \frac{1}{n} $$
看成是函数 $\frac{1}{1 + {x}^{2}}$ 在区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上的积分和,于是
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{n}{{n}^{2} + {k}^{2}} = {\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} $$
$$ = {\left. \arctan x\right| }_{0}^{1} = \frac{\pi }{4}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将极限表达式转化为积分和形式
将原式中的每一项改写为：\(\frac{n}{n^2+k^2} = \frac{1}{1+(k/n)^2} \cdot \frac{1}{n}\)，从而原极限等于\(\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+(k/n)^2} \cdot \frac{1}{n}\)。
公式：\frac{n}{n^2+k^2} = \frac{1}{1+(k/n)^2} \cdot \frac{1}{n}
提示：注意将分母提取\(n^2\)，并利用\(k/n\)构造积分变量。
步骤 2/3
目标：识别积分和并转化为定积分
将\(\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+(k/n)^2} \cdot \frac{1}{n}\)视为函数\(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\)在区间\([0,1]\)上的积分和，其中\(x_k = k/n\)，\(\Delta x = 1/n\)。因此极限等于定积分\(\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx\)。
公式：\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \frac{1}{n} = \int_0^1 f(x) dx
提示：确认积分区间为\([0,1]\)，因为\(k/n\)从\(1/n\)到\(1\)，当\(n\to\infty\)时覆盖\([0,1]\)。
步骤 3/3
目标：计算定积分
计算\(\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x \big|_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}\)。
公式：\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C
提示：注意\(\arctan 1 = \pi/4\)，\(\arctan 0 = 0\)。
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