新讲 第6章 定积分 第6题

教材习题

📝 题目

例 6 求极限

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{{1}^{p} + {2}^{p} + \cdots + {n}^{p}}{{n}^{p + 1}},\;p > 0. $$

💡 答案解析

解 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{k}^{p}}{{n}^{p + 1}} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\left( \frac{k}{n}\right) }^{p}\frac{1}{n}$

$$ = {\int }_{0}^{1}{x}^{p}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{p + 1}. $$

在定理 1 的条件下, 定积分的计算归结于求原函数——不定积分. 为了求不定积分, 又可利用换元积分法和分部积分法. 我们把以上所说的手续概括成直接处理定积分的换元积分法和分部积分法, 以便于以后应用.

定义 1 如果函数 $\varphi \left( t\right)$ 在开区间 $\left( {\alpha ,\beta }\right)$ 上的每一点可导,并且导函数 ${\varphi }^{\prime }\left( t\right)$ 在 $\left( {\alpha ,\beta }\right)$ 上连续,那么我们就说函数 $\varphi$ 在开区间 $\left( {\alpha ,\beta }\right)$ 上连续可微,或者说 $\varphi$ 在 $\left( {\alpha ,\beta }\right)$ 上是 ${C}^{1}$ 类函数.

定义 2 如果函数 $\varphi \left( t\right)$ 在闭区间 $\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack$ 上的每一点可导 (在左端点右侧可导,在右端点左侧可导),并且导函数 ${\varphi }^{\prime }\left( t\right)$ 在闭区间 $\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack$ 上连续,那么我们就说函数 $\varphi$ 在闭区间 $\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack$ 上连续可微,或者说 $\varphi$ 在 $\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack$ 上是 ${C}^{1}$ 类函数,并约定用这样的记号来表示:

$$ \varphi \in {C}^{1}\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack \text{ . } $$

注记 定义 2 的另一种等价说法是: 设函数 $\varphi$ 在闭区间 $\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack$ 上有定义. 如果存在一个开区间 $\left( {A,B}\right) \supset \left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack$ 和在这个开区间上连续可微的函数 $\Phi \left( t\right)$ ,使得

$$ \Phi \left( t\right) = \varphi \left( t\right) ,\;\forall t \in \left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack , $$

那么我们就说函数 $\varphi$ 在闭区间 $\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack$ 上连续可微,或者说 $\varphi$ 在 $\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack$ 上是 ${C}^{1}$ 类函数.

定理 2 (定积分的换元法) 设函数 $\varphi \in {C}^{1}\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack ,\varphi \left( \alpha \right) = a$ , $\varphi \left( \beta \right) = b,\varphi \left( \left( {\alpha ,\beta }\right) \right) \subset \left( {a,b}\right)$ . 如果函数 $f$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续,那么

$$ {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{\beta }f\left( {\varphi \left( t\right) }\right) {\varphi }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t. $$

上述公式还可写成更便于记忆的形式:

$$ {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left( {\varphi \left( t\right) }\right) \mathrm{d}\varphi \left( t\right) . $$

证明 在下一篇中,我们将证明:任何连续函数都具有原函数. 设 $F\left( x\right)$ 是函数 $f\left( x\right)$ 在区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上的一个原函数,则 $F\left( {\varphi \left( t\right) }\right)$ 就是函数 $f\left( {\varphi \left( t\right) }\right) {\varphi }^{\prime }\left( t\right)$ 在区间 $\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack$ 上的一个原函数. 于是

$$ {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\left. F\left( x\right) \right| }_{a}^{b} = {\left. F\left( \varphi \left( t\right) \right) \right| }_{a}^{\beta } $$

$$ = {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left( {\varphi \left( t\right) }\right) {\varphi }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t. $$

定理 3 (定积分的分部积分公式) 设函数 $u,v \in {C}^{1}\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,则

$$ {\int }_{a}^{b}u\left( x\right) {v}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = {\left. u\left( x\right) v\left( x\right) \right| }_{a}^{b} - {\int }_{a}^{b}{u}^{\prime }\left( x\right) v\left( x\right) \mathrm{d}x. $$

这公式还可写成容易记忆的形式:

$$ {\int }_{a}^{b}u\left( x\right) \mathrm{d}v\left( x\right) = {\left. u\left( x\right) v\left( x\right) \right| }_{a}^{b} - {\int }_{a}^{b}v\left( x\right) \mathrm{d}u\left( x\right) . $$

证明 在下一篇中,我们将证明所有的连续函数都有原函数. 于是, 以下的关于不定积分的分部积分公式成立:

$$ \int u\left( x\right) {v}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = u\left( x\right) v\left( x\right) - \int {u}^{\prime }\left( x\right) v\left( x\right) \mathrm{d}x $$

取上式两边在 $b$ 点的值和在 $a$ 点的值相减得

$$ {\left. \left( \int u\left( x\right) {v}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x\right) \right| }_{a}^{b} = {\left. u\left( x\right) v\left( x\right) \right| }_{a}^{b} - {\left. \left( \int {u}^{\prime }\left( x\right) v\left( x\right) \mathrm{d}x\right) \right| }_{a}^{b}, $$

即

$$ {\int }_{a}^{b}u\left( x\right) {v}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = {\left. u\left( x\right) v\left( x\right) \right| }_{a}^{b} - {\int }_{a}^{b}{u}^{\prime }\left( x\right) v\left( x\right) \mathrm{d}x. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：将极限转化为定积分形式
将分子中的求和项改写为 (k/n)^p * (1/n) 的形式，从而将极限转化为定积分的定义形式。
公式：\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n \frac{k^p}{n^{p+1}} = \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^p \frac{1}{n}
提示：注意定积分的定义：将区间[0,1]等分为n份，取右端点函数值求和。
步骤 2/3
目标：应用定积分定义计算极限
根据定积分的定义，上述和式的极限等于函数 x^p 在区间 [0,1] 上的定积分。
公式：\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^p \frac{1}{n} = \int_0^1 x^p \, dx
提示：定积分定义：\int_a^b f(x) dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x，其中 \Delta x = (b-a)/n，x_i = a + i\Delta x。
步骤 3/3
目标：计算定积分
利用幂函数积分公式计算定积分 \int_0^1 x^p dx。
公式：\int_0^1 x^p \, dx = \left. \frac{x^{p+1}}{p+1} \right|_0^1 = \frac{1}{p+1}
提示：幂函数积分公式：\int x^p dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C，其中 p \neq -1。

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