新讲 第8章 利用导数研究函数 第4题

教材习题

📝 题目

例 4 求函数 $f\left( x\right) = {\left( 1 + x\right) }^{a}$ 的麦克劳林公式.

💡 答案解析

解 计算导数得

$$ {f}^{\left( k\right) }\left( x\right) = \alpha \left( {\alpha - 1}\right) \cdots \left( {\alpha - k + 1}\right) {\left( 1 + x\right) }^{\alpha - k}, $$

$$ {f}^{\left( k\right) }\left( 0\right) = \alpha \left( {\alpha - 1}\right) \cdots \left( {\alpha - k + 1}\right) \;\left( {k = 1,2,\cdots }\right) . $$

于是

$$ {\left( 1 + x\right) }^{\alpha } = 1 + {\alpha x} + \frac{\alpha \left( {\alpha - 1}\right) }{2}{x}^{2} + \cdots $$

$$ + \frac{\alpha \left( {\alpha - 1}\right) \cdots \left( {\alpha - n + 1}\right) }{n!}{x}^{n} + o\left( {x}^{n}\right) . $$

我们引入记号

$$ \left( \begin{array}{l} \alpha \\ k \end{array}\right) = \frac{\alpha \left( {\alpha - 1}\right) \cdots \left( {\alpha - k + 1}\right) }{k!}. $$

用这记号可以把 ${\left( 1 + x\right) }^{a}$ 的麦克劳林公式写成更紧凑的形式:

$$ {\left( 1 + x\right) }^{a} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\left( \begin{array}{l} \alpha \\ k \end{array}\right) {x}^{k} + o\left( {x}^{n}\right) . $$

为了求函数 $\arctan x$ 和 $\arcsin x$ 的麦克劳林公式,我们将要用到以下引理.

引理 3 设函数 $f\left( x\right)$ 在 $U\left( {0,\eta }\right)$ 有定义,在 0 点 $n$ 次可导,如果

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = {A}_{0}^{\prime } + {A}_{1}^{\prime }x + \cdots + {A}_{n - 1}^{\prime }{x}^{n - 1} + o\left( {x}^{n - 1}\right) $$

$$ \left( {{A}_{0}^{\prime },{A}_{1}^{\prime },\cdots ,{A}_{n - 1}^{\prime } \in \mathbb{R}}\right) , $$

那么

$$ f\left( x\right) = f\left( 0\right) + {A}_{0}^{\prime }x + \frac{{A}_{1}^{\prime }}{2}{x}^{2} + \cdots + \frac{{A}_{n - 1}^{\prime }}{n}{x}^{n} + o\left( {x}^{n}\right) . $$

证明 在所给的条件下, 应该有

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( 0\right) + {f}^{\prime \prime }\left( 0\right) x + \frac{{f}^{\prime \prime \prime }\left( 0\right) }{2!}{x}^{2} + \cdots $$

$$ + \frac{{f}^{\left( n\right) }\left( 0\right) }{\left( {n - 1}\right) !}{x}^{n - 1} + o\left( {x}^{n - 1}\right) . $$

因为函数 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 的麦克劳林公式是唯一的,所以必须有

$$ {f}^{\prime }\left( 0\right) = {A}_{0}^{\prime },{f}^{\prime \prime }\left( 0\right) = {A}_{1}^{\prime },{f}^{\prime \prime \prime }\left( 0\right) = 2{A}_{2}^{\prime },\cdots $$

$$ {f}^{\left( n\right) }\left( 0\right) = \left( {n - 1}\right) !{A}_{n - 1}^{\prime }. $$

于是, 根据定理 1 , 我们得到

$$ f\left( x\right) = f\left( 0\right) + {f}^{\prime }\left( 0\right) x + \frac{{f}^{\prime \prime }\left( 0\right) }{2}{x}^{2} + \cdots + \frac{{f}^{\left( n\right) }\left( 0\right) }{n!}{x}^{n} + o\left( {x}^{n}\right) $$

$$ = f\left( 0\right) + {A}_{0}^{\prime }x + \frac{{A}_{1}^{\prime }}{2}{x}^{2} + \cdots + \frac{{A}_{n - 1}^{\prime }}{n}{x}^{n} + o\left( {x}^{n}\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：计算函数 f(x) = (1+x)^α 的各阶导数
计算 f(x) 的 k 阶导数公式：f^{(k)}(x) = α(α-1)...(α-k+1)(1+x)^{α-k}，然后代入 x=0 得到 f^{(k)}(0) = α(α-1)...(α-k+1)。
公式：f^{(k)}(x) = α(α-1)...(α-k+1)(1+x)^{α-k}
提示：注意 α 可以是任意实数，导数公式与整数指数类似，但阶乘用连乘表示。
步骤 2/4
目标：写出麦克劳林公式
根据麦克劳林公式 f(x) = Σ_{k=0}^n f^{(k)}(0)/k! x^k + o(x^n)，代入导数值得 (1+x)^α = 1 + αx + α(α-1)/2 x^2 + ... + α(α-1)...(α-n+1)/n! x^n + o(x^n)。
公式：(1+x)^α = Σ_{k=0}^n [α(α-1)...(α-k+1)/k!] x^k + o(x^n)
提示：注意第一项 k=0 时，连乘为空积定义为1，所以系数为1。
步骤 3/4
目标：引入二项式系数记号简化公式
定义广义二项式系数 C(α,k) = α(α-1)...(α-k+1)/k!，则公式可写为 (1+x)^α = Σ_{k=0}^n C(α,k) x^k + o(x^n)。
公式：C(α,k) = α(α-1)...(α-k+1)/k!
提示：当 α 为正整数时，该系数即为组合数。
步骤 4/4
目标：引理3：由导数的麦克劳林公式求原函数的麦克劳林公式
若 f'(x) = A_0' + A_1' x + ... + A_{n-1}' x^{n-1} + o(x^{n-1})，则对两边积分并利用 f(0) 可得 f(x) = f(0) + A_0' x + A_1'/2 x^2 + ... + A_{n-1}'/n x^n + o(x^n)。
公式：f(x) = f(0) + Σ_{k=0}^{n-1} A_k'/(k+1) x^{k+1} + o(x^n)
提示：该引理基于麦克劳林公式的唯一性，通过比较系数得到 f^{(k)}(0) 与 A_{k-1}' 的关系。

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