新讲 第8章 利用导数研究函数 第5题
📝 题目
例 5 求函数 $f\left( x\right) = \arctan x$ 的麦克劳林公式.
💡 答案解析
解 我们知道,函数 $f\left( x\right) = \arctan x$ 在 0 点可导任意多次, 并且
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{1}{1 + {x}^{2}} $$
$$ = 1 - {x}^{2} + {x}^{4} - \cdots + {\left( -1\right) }^{n}{x}^{2n} + \frac{{\left( -1\right) }^{n + 1}{x}^{{2n} + 2}}{1 + {x}^{2}} $$
$$ = 1 - {x}^{2} + {x}^{4} - \cdots + {\left( -1\right) }^{n}{x}^{2n} + o\left( {x}^{{2n} + 1}\right) . $$
因而
$$ f\left( x\right) = x - \frac{{x}^{3}}{3} + \frac{{x}^{5}}{5} - \cdots $$
$$ + {\left( -1\right) }^{n}\frac{{x}^{{2n} + 1}}{{2n} + 1} + o\left( {x}^{{2n} + 2}\right) . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求导并展开为几何级数
对 f(x)=arctan x 求导得 f'(x)=1/(1+x^2)，然后将 1/(1+x^2) 展开为几何级数：1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-...+(-1)^n x^{2n}+(-1)^{n+1}x^{2n+2}/(1+x^2)。
公式：f'(x)=1/(1+x^2)=∑_{k=0}^n (-1)^k x^{2k}+(-1)^{n+1}x^{2n+2}/(1+x^2)
提示：注意几何级数展开的符号和余项形式。
步骤 2/3
目标：将导数展开写成带皮亚诺余项的形式
由于 x^{2n+2}/(1+x^2)=o(x^{2n+1})，所以 f'(x)=1-x^2+x^4-...+(-1)^n x^{2n}+o(x^{2n+1})。
公式：f'(x)=∑_{k=0}^n (-1)^k x^{2k}+o(x^{2n+1})
提示：皮亚诺余项 o(x^{2n+1}) 表示比 x^{2n+1} 高阶的无穷小。
步骤 3/3
目标：逐项积分得到 f(x) 的展开式
对 f'(x) 的展开式从 0 到 x 积分，并利用 f(0)=0，得到 f(x)=x - x^3/3 + x^5/5 - ... + (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1) + o(x^{2n+2})。
公式：f(x)=∑_{k=0}^n (-1)^k x^{2k+1}/(2k+1)+o(x^{2n+2})
提示：积分时注意常数项为0，且余项积分后阶数升高一次。
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