新讲 第8章 利用导数研究函数 第6题
📝 题目
例 6 求函数 $f\left( x\right) = \arcsin x$ 的麦克劳林公式.
💡 答案解析
解 我们知道, $f\left( x\right) = \arcsin x$ 在 0 点可导任意多次, ${f}^{\prime }\left( x\right) =$ ${\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{-\frac{1}{2}}$ . 利用
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出函数及其导数
已知 f(x) = arcsin x，求导得 f'(x) = (1 - x^2)^{-1/2}。
公式：f'(x) = (1 - x^2)^{-1/2}
提示：注意 arcsin x 的导数公式。
步骤 2/5
目标：利用已知展开式
回忆 (1 + u)^α 的麦克劳林展开式： (1+u)^α = 1 + α u + α(α-1)/2! u^2 + ... + α(α-1)...(α-n+1)/n! u^n + ...，其中 |u|<1。令 u = -x^2，α = -1/2，则 f'(x) = (1 - x^2)^{-1/2} = 1 + (-1/2)(-x^2) + (-1/2)(-3/2)/2! (-x^2)^2 + ...
公式：(1+u)^α = Σ_{n=0}^∞ C(α, n) u^n
提示：注意二项式系数 C(α, n) = α(α-1)...(α-n+1)/n!。
步骤 3/5
目标：写出 f'(x) 的展开式
计算各项系数：第一项 1；第二项 (1/2)x^2；第三项 (1·3)/(2·4)x^4；一般项： (1·3·5·...·(2n-1))/(2·4·6·...·(2n)) x^{2n}，即 (2n)!/(2^{2n} (n!)^2) x^{2n}。所以 f'(x) = Σ_{n=0}^∞ (2n)!/(2^{2n} (n!)^2) x^{2n}，|x|<1。
公式：f'(x) = Σ_{n=0}^∞ (2n)!/(2^{2n} (n!)^2) x^{2n}
提示：注意双阶乘与阶乘的转换。
步骤 4/5
目标：积分得到 f(x) 的展开式
对 f'(x) 从 0 到 x 积分，注意 f(0)=0，得 f(x) = ∫_0^x f'(t) dt = Σ_{n=0}^∞ (2n)!/(2^{2n} (n!)^2) ∫_0^x t^{2n} dt = Σ_{n=0}^∞ (2n)!/(2^{2n} (n!)^2) * x^{2n+1}/(2n+1)。
公式：arcsin x = Σ_{n=0}^∞ (2n)!/(2^{2n} (n!)^2 (2n+1)) x^{2n+1}
提示：积分时注意常数项为0。
步骤 5/5
目标：写出麦克劳林公式
因此，arcsin x 的麦克劳林公式为：arcsin x = x + (1/6)x^3 + (3/40)x^5 + ... + (2n)!/(2^{2n} (n!)^2 (2n+1)) x^{2n+1} + ...，收敛区间为 |x|≤1。
公式：arcsin x = Σ_{n=0}^∞ (2n)!/(2^{2n} (n!)^2 (2n+1)) x^{2n+1}
提示：注意收敛半径 R=1，端点处需单独判断。
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