新讲 第8章 利用导数研究函数 第3题
📝 题目
例 3 作函数 $y = {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}$ 的图形.
💡 答案解析
解 该函数的定义域是 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,它是偶函数. 因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}} = 0, $$
所以函数的图形以 $x$ 轴为水平渐近线. 计算这函数的导数得
$$ {y}^{\prime } = - {2x}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}, $$
$$ {y}^{\prime \prime } = \left( {-2 + 4{x}^{2}}\right) {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}. $$
我们列表讨论函数 $y = {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}$ 的升降与极值,凹凸与拐点:
\begin{center} \adjustbox{max width=\textwidth}{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline $x$ & $\left( {-\frac{1}{\sqrt{2}},0}\right)$ & 0 & $\left( {0,\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)$ & $\frac{1}{\sqrt{2}}$ & $\left( {\frac{1}{\sqrt{2}}, + \infty }\right)$ \\ \cline{1-6} ${y}^{\prime }$ & + & 0 & - & - & - \\ \cline{1-6} ${y}^{\prime \prime }$ & - & - & - & 0 & + \\ \cline{1-6} $y$ & ↗ & 1 & ↓ & 0.6 & ↘ \\ \cline{1-6} 备注 & \phantom{X} & 极大 & \phantom{X} & 拐点 & \phantom{X} \\ \cline{1-6} \hline \end{tabular} } \end{center}
这函数的图形描绘在图 8-6 中.
\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/038.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 8-6
注记 在这例和以下各例中, 我们采用以下的方便的符号来表示函数的升降与凹凸:
\begin{center} \adjustbox{max width=\textwidth}{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline ⍻ & C & ↓ & ↘ \\ \cline{1-4} 上升,凸 & 上升,凹 & 下降,凹 & 下降,凸 \\ \cline{1-4} \hline \end{tabular} } \end{center}