新讲 第11章 多维空间 第2题
📝 题目
例 2 考察 $\mathbb{R}$ 中的有界闭集
$$ K = \left\lbrack {-2, - 1}\right\rbrack \cup \left\lbrack {1,2}\right\rbrack $$
和定义于 $K$ 上的函数
$$ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} - 1, & x \in \left\lbrack {-2, - 1}\right\rbrack , \\ 1, & x \in \left\lbrack {1,2}\right\rbrack . \end{array}\right. $$
容易看出: $f$ 在 $K$ 上连续,但却不具有介值性质 (请读者自己验证).
要说明一个集合是否 “连成一片”, 有若干种方法. 我们这里只介绍其中最简单的一种一一路径连通.
设 $T \subset \mathbb{R},E \subset {\mathbb{R}}^{m}$ ,则 $T$ 和 $E$ 都可以看成距离空间,因而可以讨论映射
$$ \varphi : T \rightarrow E $$
的连续性. 因为
$$ \mathop{\max }\limits_{{1 \leq j \leq m}}\left| {{\varphi }^{j}\left( t\right) - {\varphi }^{j}\left( {t}_{0}\right) }\right| \leq \begin{Vmatrix}{\varphi \left( t\right) - \varphi \left( {t}_{0}\right) }\end{Vmatrix} $$
$$ \leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}\left| {{\varphi }^{j}\left( t\right) - {\varphi }^{j}\left( {t}_{0}\right) }\right| , $$
所以映射 $\varphi \left( t\right) = \left( {{\varphi }^{1}\left( t\right) ,\cdots ,{\varphi }^{m}\left( t\right) }\right)$ 在 ${t}_{0}$ 连续的充要条件是: 它的各分量 ${\varphi }^{j}\left( t\right)$ 都在 ${t}_{0}$ 连续 $\left( {j = 1,\cdots ,m}\right)$ .
定义 1 设 $E \subset {\mathbb{R}}^{m},{x}_{0},{x}_{1} \in E$ ,并设
$$ \gamma : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow E $$
是一个连续映射, 满足条件
$$ \gamma \left( 0\right) = {x}_{0},\;\gamma \left( 1\right) = {x}_{1}, $$
则称 $\gamma$ 为 $E$ 中联结 ${x}_{0}$ 和 ${x}_{1}$ 的一条路径.
注记 “路径”的直观几何形象就是联结给定两点的一条连续曲线.
定义 2 设 $E \subset {\mathbb{R}}^{m}$ . 如果对任何 ${x}_{0},{x}_{1} \in E$ ,都至少存在 $E$ 中联结这两点的一条路径,那么我们就说 $E$ 是路径连通的.
空集 $\varnothing$ 也被认为是路径连通的.
定理 1 设 $E$ 是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的路径连通子集,函数 $f$ 在 $E$ 上连续,则 $f$ 具有介值性质.
💡 答案解析
证明 设 ${A}_{0}$ 和 ${A}_{1}$ 是 $f$ 的任意两个值. 不妨设
$$ {x}_{0} \in E,\;f\left( {x}_{0}\right) = {A}_{0}, $$
$$ {x}_{1} \in E,\;f\left( {x}_{1}\right) = {A}_{1}. $$
由于集合 $E$ 的路径连通性,存在连续映射
$$ \gamma : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow E, $$
使得
$$ \gamma \left( 0\right) = {x}_{0},\;\gamma \left( 1\right) = {x}_{1}. $$
考察复合映射
$$ \varphi \left( t\right) = f\left( {\gamma \left( t\right) }\right) ,\;t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack . $$
这是一个在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上连续的函数,并且
$$ \varphi \left( 0\right) = {A}_{0},\;\varphi \left( 1\right) = {A}_{1}. $$
于是 $\varphi$ 取得介于 ${A}_{0}$ 和 ${A}_{1}$ 之间的任何值. 因此,函数 $f$ 在点集
$$ \gamma \left( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \right) = \{ \gamma \left( t\right) \mid t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \} $$
之上可以取得介于 ${A}_{0}$ 和 ${A}_{1}$ 之间的任何值.
定义 3 我们把 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的连通开集 $D$ 称为开区域,并把连通开集 $D$ 的闭包 $\bar{D}$ 称为闭区域.
定理 2 在开区域或闭区域上连续的函数具有介值性质.
证明 从定理 1 已经知道, 在开区域上连续的函数具有介值性质. 以下考察在闭区域上连续的函数.
设 $D \subset {\mathbb{R}}^{m}$ 是一个开区域,函数 $f$ 在闭区域 $\bar{D}$ 上连续, ${A}_{0}$ 和 ${A}_{1}$ 是 $f$ 在 $\bar{D}$ 上的两个值, $C$ 介于 ${A}_{0}$ 和 ${A}_{1}$ 之间. 不妨设
$$ {x}_{0} \in \bar{D},\;f\left( {x}_{0}\right) = {A}_{0}, $$
$$ {x}_{1} \in \bar{D},\;f\left( {x}_{1}\right) = {A}_{1}, $$
$$ {A}_{0} < C < {A}_{1}\text{ . } $$
如果 ${x}_{0},{x}_{1} \in D$ ,那么显然 $f$ 在 $D$ 中某点取得值 $C$ . 我们来考察 ${x}_{0}$ 与 ${x}_{1}$ 之一不在 $D$ 中的情形,例如这样的情形:
$$ {x}_{0} \in \operatorname{Bd}D,\;{x}_{1} \in D. $$
记 $\varepsilon = C - {A}_{0} > 0$ . 由于函数 $f$ 在 $\bar{D}$ 上的连续性,对于充分接近于 ${x}_{0}$ $\in \mathrm{{Bd}}D$ 的 ${x}^{\prime }{}_{0} \in D$ ,就有
$$ f\left( {x}_{0}^{\prime }\right) = {A}_{0}^{\prime } < {A}_{0} + \varepsilon = C. $$
我们看到,存在 ${x}_{0}^{\prime } \in D$ 和 ${x}_{1} \in D$ ,使得
$$ f\left( {x}_{0}^{\prime }\right) = {A}_{0}^{\prime } < C < {A}_{1} = f\left( {x}_{1}\right) . $$
由此得知: 函数 $f$ 在 $D$ 中某点必定能取到值 $C$ .
对于 ${x}_{0}$ 和 ${x}_{1}$ 两点都在边界 $\operatorname{Bd}D$ 上的情形,也可类似地进行讨论.