新讲 第11章 多维空间 第2题
📝 题目
例 2 开方块
$$ I = \left\{ {\left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) {\mathbb{R}}^{m} \in \mid {a}^{i} < {x}^{i} < {b}^{i},i = 1,\cdots ,m}\right\} $$
是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的开集.
定理 3 设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的开集,
$$ f : \Omega \rightarrow {\mathbb{R}}^{p} $$
是一个映射. 则 $f$ 在 $\Omega$ 连续的充要条件是: 对于 ${\mathbb{R}}^{p}$ 中的任何开集 $H$ ,集合
$$ G = {f}^{-1}\left( H\right) $$
都是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的开集.
💡 答案解析
证明 必要性 设 $f : \Omega \rightarrow {\mathbb{R}}^{p}$ 是连续映射, $H$ 是 ${\mathbb{R}}^{p}$ 中任意一个开集. 如果 $G = {f}^{-1}\left( H\right) = \varnothing$ ,那么按照定义 $G$ 是一个开集. 设 $G =$ ${f}^{-1}\left( H\right) \neq \varnothing$ ,而 $a$ 是 $G = {f}^{-1}\left( H\right)$ 中任意一点,则 $f\left( a\right) \in H$ . 由于 $H$ 是开集,所以存在 $\varepsilon > 0$ ,使得
$$ U\left( {f\left( a\right) ,\varepsilon }\right) \subset H. $$
又因为映射 $f$ 在点 $a \in G$ 连续,所以存在 $\delta > 0$ ,使得只要 $x \in$ $U\left( {a,\delta }\right)$ ,就有
$$ f\left( x\right) \in U\left( {f\left( a\right) ,\varepsilon }\right) \subset H. $$
这就是说
$$ f\left( {U\left( {a,\delta }\right) }\right) \subset H, $$
因而
$$ U\left( {a,\delta }\right) \subset {f}^{-1}\left( H\right) = G. $$
这样,我们证明了 $G = {f}^{-1}\left( H\right)$ 是开集.
充分性 对任何 $a \in \Omega$ ,记 $H = U\left( {f\left( a\right) ,\varepsilon }\right)$ ,则 $H$ 是 ${\mathbb{R}}^{p}$ 中的开集,因而 $G = {f}^{-1}\left( H\right)$ 是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的开集. 显然有 $a \in G = {f}^{-1}\left( H\right)$ ,所以又存在 $\delta > 0$ ,使得
$$ U\left( {a,\delta }\right) \subset G = {f}^{-1}\left( H\right) . $$
由此得到
$$ f\left( {U\left( {a,\delta }\right) }\right) \subset H = U\left( {f\left( a\right) ,\varepsilon }\right) . $$
这证明了 $f$ 在点 $a$ 的连续性.
注记 对于一般距离空间之间的映射, 也有与定理 3 类似的结果. 请读者仿照定理 3 予以陈述并写出证明.