新讲 第13章 重积分 第11题
📝 题目
例 11 试计算
$$ I = {\iiint }_{D}{\mathrm{e}}^{\lambda \left( {\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}}\right) + {\mu z}}\mathrm{\;d}\left( {x,y,z}\right) , $$
这里 $D$ 是椭圆柱体
$$ \left\{ {\left( {x,y,z}\right) \left| {\;\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} \leq 1}\right. ,0 \leq z \leq c}\right\} . $$
💡 答案解析
解 做广义柱坐标变换 (椭圆柱坐标变换)
$$ \left\{ \begin{array}{l} x = {ar}\cos \theta , \\ y = {br}\sin \theta , \\ z = z, \end{array}\right. $$
我们得到
$$ I = {ab}{\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}r{\int }_{0}^{c}{\mathrm{e}}^{\lambda {r}^{2} + {\mu z}}r\mathrm{\;d}z $$
$$ = \frac{\pi }{\lambda \mu }{ab}\left( {{\mathrm{e}}^{\lambda } - 1}\right) \left( {{\mathrm{e}}^{\mu c} - 1}\right) . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：引入椭圆柱坐标变换
由于积分区域是椭圆柱体，采用广义柱坐标变换：x = a r cosθ, y = b r sinθ, z = z，其中r≥0, 0≤θ≤2π。该变换将椭圆柱区域映射为圆柱区域：0≤r≤1, 0≤θ≤2π, 0≤z≤c。
公式：x = a r cosθ, y = b r sinθ, z = z
提示：注意变换的雅可比行列式为ab r，因为∂(x,y,z)/∂(r,θ,z) = ab r。
步骤 2/4
目标：计算雅可比行列式并写出积分表达式
变换的雅可比行列式为ab r，被积函数中x²/a² + y²/b² = r²，因此被积函数变为e^{λ r² + μ z}。积分区域变为：0≤r≤1, 0≤θ≤2π, 0≤z≤c。三重积分化为：I = ∫∫∫ e^{λ r² + μ z} * ab r dr dθ dz。
公式：I = ab ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{1} dr ∫_{0}^{c} e^{λ r² + μ z} r dz
提示：注意积分顺序：先对z积分，再对r，最后对θ。
步骤 3/4
目标：分别对θ、z、r积分
先对θ积分：∫_{0}^{2π} dθ = 2π。再对z积分：∫_{0}^{c} e^{μ z} dz = (e^{μ c} - 1)/μ。最后对r积分：∫_{0}^{1} e^{λ r²} r dr，令u=r²，则du=2r dr，积分变为(1/2)∫_{0}^{1} e^{λ u} du = (e^{λ} - 1)/(2λ)。
公式：∫_{0}^{2π} dθ = 2π; ∫_{0}^{c} e^{μ z} dz = (e^{μ c} - 1)/μ; ∫_{0}^{1} e^{λ r²} r dr = (e^{λ} - 1)/(2λ)
提示：对r积分时使用换元法，注意r dr的积分形式。
步骤 4/4
目标：合并结果得到最终答案
将各积分结果相乘：I = ab * 2π * (e^{μ c} - 1)/μ * (e^{λ} - 1)/(2λ) = (π ab)/(λ μ) (e^{λ} - 1)(e^{μ c} - 1)。
公式：I = (π ab)/(λ μ) (e^{λ} - 1)(e^{μ c} - 1)
提示：注意约去因子2，得到简洁形式。
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