新讲 第13章 重积分 第12题
📝 题目
例 12 试计算
$$ I = {\iiint }_{D}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\left( {x,y,z}\right) , $$
这里 $D$ 是由锥面 $z = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}$ 与球面 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}$ 所围成的闭区域 (图 13-19).
💡 答案解析
解 做球坐标变换可得
$$ I = {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{\;d}\varphi {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{a}{r}^{4}\cos \varphi \mathrm{d}r $$
$$ = \frac{\left( {2 - \sqrt{2}}\right) \pi }{5}{a}^{5}. $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/073.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 13-19
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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