新讲 第2章 极 限 第13题
📝 题目
例 13 设 $a \in \mathbb{R},a > 0$ . 试用 $\varepsilon - \delta$ 定义证明 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\sqrt{x} = \sqrt{a}}$ .
💡 答案解析
证明 我们有
$$ \left| {\sqrt{x} - \sqrt{a}}\right| = \frac{\left| x - a\right| }{\sqrt{x} + \sqrt{a}} \leq \frac{1}{\sqrt{a}}\left| {x - a}\right| . $$
对任意 $\varepsilon > 0$ ,取 $\displaystyle{\delta = \min \{ a,\sqrt{a}\varepsilon \}}$ ,则当 $0 < \left| {x - a}\right| < \delta$ 时,就有
$$ \left| {\sqrt{x} - \sqrt{a}}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{a}}\left| {x - a}\right| < \varepsilon . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简绝对值表达式
利用分子有理化，将 |√x - √a| 转化为 |x - a|/(√x + √a)。
公式：|√x - √a| = |x - a|/(√x + √a)
提示：分子有理化是处理根式差值的常用技巧。
步骤 2/4
目标：放缩不等式
由于 √x + √a ≥ √a，所以 |√x - √a| ≤ |x - a|/√a。
公式：|√x - √a| ≤ (1/√a)|x - a|
提示：放缩时注意分母的最小值，这里 √x ≥ 0，所以 √x + √a ≥ √a。
步骤 3/4
目标：确定δ的取值
对任意 ε > 0，取 δ = min{a, √a ε}。这样既能保证 x ≥ 0（因为 |x - a| < a 意味着 x > 0），又能使 |x - a| < √a ε。
公式：δ = min{a, √a ε}
提示：取 min 是为了同时满足两个条件：保证根号有意义，以及放缩后的不等式成立。
步骤 4/4
目标：验证极限定义
当 0 < |x - a| < δ 时，有 |√x - √a| ≤ (1/√a)|x - a| < (1/√a)·√a ε = ε。
公式：|√x - √a| < ε
提示：注意 δ 的选取保证了 |x - a| < √a ε，从而得到最终结果。
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