新讲 第2章 极 限 第12题

教材习题

📝 题目

例 12 求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}}}$ 和 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\tan x - \sin x}{x}}$ .

💡 答案解析

解 利用 $1 - \cos x = 2{\sin }^{2}\frac{x}{2}$ 得

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{2{\sin }^{2}\frac{x}{2}}{{x}^{2}} $$

$$ = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{1}{2}{\left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right) }^{2} $$

$$ = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow 0}}\frac{1}{2}{\left( \frac{\sin y}{y}\right) }^{2} = \frac{1}{2}. $$

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\tan x - \sin x}{{x}^{3}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{{x}^{2}} $$

$$ = \frac{1}{2}\text{ . } $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：求第一个极限 lim_{x->0} (1-cos x)/x^2
利用三角恒等式 1-cos x = 2 sin^2(x/2)，将原式化为 lim_{x->0} [2 sin^2(x/2)] / x^2。
公式：1-cos x = 2 sin^2(x/2)
提示：注意分子分母同时除以适当形式以凑出重要极限。
步骤 2/5
目标：化简表达式
将分母 x^2 写成 4*(x/2)^2，得到 lim_{x->0} (1/2) * [sin(x/2)/(x/2)]^2。
公式：x^2 = 4*(x/2)^2
提示：将 x/2 视为整体，便于应用重要极限。
步骤 3/5
目标：应用重要极限
令 y = x/2，则当 x->0 时 y->0，原式化为 lim_{y->0} (1/2) * (sin y / y)^2 = 1/2 * 1^2 = 1/2。
公式：lim_{y->0} sin y / y = 1
提示：重要极限的结果是1，平方后仍为1。
步骤 4/5
目标：求第二个极限 lim_{x->0} (tan x - sin x)/x^3
将 tan x - sin x 写成 sin x/cos x - sin x = sin x (1/cos x - 1) = sin x (1-cos x)/cos x，因此原式 = lim_{x->0} (1/cos x) * (sin x/x) * (1-cos x)/x^2。
公式：tan x = sin x / cos x
提示：分解因式，将复杂极限拆成几个已知极限的乘积。
步骤 5/5
目标：计算各因子极限
lim_{x->0} 1/cos x = 1，lim_{x->0} sin x/x = 1，lim_{x->0} (1-cos x)/x^2 = 1/2（由第一步结果），所以原极限 = 1 * 1 * 1/2 = 1/2。
公式：极限乘法法则
提示：注意每个因子极限都存在且有限，才能使用乘法法则。

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