新讲 第4章 导 数 第8题
📝 题目
例 8 求 ${\left( \sin {x}^{2}\right) }^{\prime }$ 和 ${\left( {\mathrm{e}}^{{x}^{2}}\right) }^{\prime }$ .
💡 答案解析
解 我们有
$$ {\left( \sin {x}^{2}\right) }^{\prime } = \left( {\cos {x}^{2}}\right) \cdot {\left( {x}^{2}\right) }^{\prime } = {2x}\cos {x}^{2}, $$
$$ {\left( {\mathrm{e}}^{{x}^{2}}\right) }^{\prime } = \left( {\mathrm{e}}^{{x}^{2}}\right) \cdot {\left( {x}^{2}\right) }^{\prime } = {2x}{\mathrm{e}}^{{x}^{2}}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求 (sin x^2)'
应用链式法则：外层函数 sin(u)，内层函数 u=x^2。先对外层求导得 cos(u)，再乘以内层导数 2x，最后代回 u=x^2。
公式：(sin u)' = cos u * u'
提示：注意区分 sin(x^2) 与 (sin x)^2，前者是复合函数，后者是幂函数。
步骤 2/2
目标：求 (e^{x^2})'
应用链式法则：外层函数 e^u，内层函数 u=x^2。先对外层求导得 e^u，再乘以内层导数 2x，最后代回 u=x^2。
公式：(e^u)' = e^u * u'
提示：指数函数的导数等于自身乘以内层导数。
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