新讲 第4章 导 数 第9题
📝 题目
例 9 试求函数 $\ln \left| x\right| \left( {x \neq 0}\right)$ 和函数 $\ln \left| {x + c}\right| \left( {x \neq - c}\right)$ 的导数.
💡 答案解析
解 对于 $x > 0$ ,我们已经知道
$$ {\left( \ln \left| x\right| \right) }^{\prime } = {\left( \ln x\right) }^{\prime } = \frac{1}{x}. $$
设 $x < 0$ ,则 $\left| x\right| = - x$ . 对该情形我们有
$$ {\left( \ln \left| x\right| \right) }^{\prime } = {\left( \ln \left( -x\right) \right) }^{\prime } $$
$$ = \frac{1}{-x} \cdot {\left( -x\right) }^{\prime } = \frac{1}{x}. $$
对于 $x > 0$ 和 $x < 0$ 这两种情形,我们都得到
$$ {\left( \ln \left| x\right| \right) }^{\prime } = 1/x. $$
由此又可得到
$$ {\left( \ln \left| x + c\right| \right) }^{\prime } = \frac{1}{x + c}{\left( x + c\right) }^{\prime } = \frac{1}{x + c}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求 ln|x| 在 x>0 时的导数
当 x>0 时，|x|=x，所以 ln|x| = ln x，其导数为 1/x。
公式：(ln x)' = 1/x
提示：直接应用基本导数公式。
步骤 2/4
目标：求 ln|x| 在 x<0 时的导数
当 x<0 时，|x| = -x，所以 ln|x| = ln(-x)。利用链式法则求导：令 u = -x，则 (ln u)' = 1/u * u' = 1/(-x) * (-1) = 1/x。
公式：(ln(-x))' = 1/(-x) * (-1) = 1/x
提示：注意链式法则的应用，u' = -1。
步骤 3/4
目标：综合结论
无论 x>0 还是 x<0，都有 (ln|x|)' = 1/x。
公式：(ln|x|)' = 1/x
提示：该结果对 x≠0 成立。
步骤 4/4
目标：求 ln|x+c| 的导数
令 u = x+c，则 ln|x+c| = ln|u|，由链式法则得 (ln|u|)' = 1/u * u' = 1/(x+c) * 1 = 1/(x+c)。
公式：(ln|x+c|)' = 1/(x+c)
提示：注意 u' = 1，且结果对 x≠-c 成立。
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