新讲 第2章 极 限 第3题
📝 题目
例 3 设 $a > 1$ ,求证 $\displaystyle{\lim \sqrt[n]{a} = 1}$ .
💡 答案解析
证明 因为 $a > 1$ ,所以 ${a}^{1/n} = \sqrt[n]{a} > 1$ . 令
$$ {\alpha }_{n} = {a}^{1/n} - 1,\;n = 1,2,\cdots , $$
则 ${\alpha }_{n} > 0$ . 我们来证明 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列. 事实上,由
$$ a = {\left( 1 + {\alpha }_{n}\right) }^{n} > 1 + n{\alpha }_{n} $$
可得
$$ {\alpha }_{n} < \frac{a - 1}{n}. $$
这证明了 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立辅助变量
由于 a > 1，所以 a^{1/n} > 1。令 α_n = a^{1/n} - 1，则 α_n > 0。
公式：α_n = a^{1/n} - 1
提示：引入正变量α_n，将极限问题转化为证明α_n是无穷小。
步骤 2/4
目标：利用二项式定理放缩
由 a = (1 + α_n)^n，展开得 (1 + α_n)^n = 1 + nα_n + ... > 1 + nα_n，因此 a > 1 + nα_n。
公式：a = (1 + α_n)^n > 1 + nα_n
提示：注意二项式展开中所有项均为正，故可舍去高阶项得到不等式。
步骤 3/4
目标：解出α_n的上界
由 a > 1 + nα_n 得 nα_n < a - 1，即 α_n < (a-1)/n。
公式：α_n < (a-1)/n
提示：将不等式变形，得到α_n被一个趋于0的序列控制。
步骤 4/4
目标：由夹逼定理得证
由于 0 < α_n < (a-1)/n，且 (a-1)/n → 0 (n→∞)，由夹逼定理知 α_n → 0，即 a^{1/n} → 1。
公式：lim_{n→∞} α_n = 0 ⇒ lim_{n→∞} a^{1/n} = 1
提示：夹逼定理：若0≤b_n≤c_n且c_n→0，则b_n→0。
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