新讲 第2章 极 限 第4题
📝 题目
例 4 求证 $\displaystyle{\lim \sqrt[n]{n} = 1}$ .
💡 答案解析
证明 令 ${\alpha }_{n} = \sqrt[n]{n} - 1$ ,则 ${\alpha }_{n} \geq 0$ . 我们有
$$ n = {\left( 1 + {\alpha }_{n}\right) }^{n} = 1 + n{\alpha }_{n} + \frac{n\left( {n - 1}\right) }{2}{\alpha }_{n}^{2} + \cdots $$
$$ \geq \frac{n\left( {n - 1}\right) }{2}{\alpha }_{n}^{2}. $$
由此可得
$$ 0 \leq {\alpha }_{n} \leq \sqrt{\frac{2}{n - 1}},\;\forall n \geq 2. $$
要使
$$ \sqrt{\frac{2}{n - 1}} < \varepsilon , $$
只需
$$ n > \frac{2}{{\varepsilon }^{2}} + 1\text{ . } $$
取 $N = \left\lbrack {2/{\varepsilon }^{2}}\right\rbrack + 2$ ,则当 $n > N$ 时,就有
$$ 0 \leq {\alpha }_{n} \leq \sqrt{\frac{2}{n - 1}} < \varepsilon . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：引入辅助变量并建立不等式
令 α_n = √[n]{n} - 1，则 α_n ≥ 0。将 n 表示为 (1+α_n)^n 的二项式展开，并保留前几项得到不等式 n ≥ n(n-1)/2 * α_n^2。
公式：n = (1+α_n)^n = 1 + nα_n + n(n-1)/2 α_n^2 + ... ≥ n(n-1)/2 α_n^2
提示：利用二项式展开并舍弃非负项得到下界估计。
步骤 2/3
目标：解出 α_n 的上界
由 n ≥ n(n-1)/2 α_n^2 可得 α_n^2 ≤ 2/(n-1)，因此 0 ≤ α_n ≤ √(2/(n-1))，对 n≥2 成立。
公式：0 ≤ α_n ≤ √(2/(n-1))
提示：注意 n≥2 时不等式有意义。
步骤 3/3
目标：根据 ε 确定 N
要使 √(2/(n-1)) < ε，只需 n > 2/ε^2 + 1。取 N = [2/ε^2] + 2，则当 n > N 时，有 0 ≤ α_n < ε。
公式：N = [2/ε^2] + 2
提示：取整函数保证 N 是整数且满足条件。
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