新讲 第5章 原函数与不定积分 第11题
📝 题目
例 11 求 $\displaystyle \int \sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x\left( {a > 0}\right)$ .
💡 答案解析
解 令 $x = a\sin t\left( {-\pi /2 \leq t \leq \pi /2}\right)$ ,我们得到
$$ \int \sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x = {a}^{2}\int {\cos }^{2}t\mathrm{\;d}t $$
$$ = {a}^{2}\left( {\frac{t}{2} + \frac{\sin {2t}}{4}}\right) + C $$
$$ = \frac{1}{2}\left( {{a}^{2}t + {a}^{2}\sin t\cos t}\right) + C $$
$$ = \frac{1}{2}\left( {{a}^{2}\arcsin \frac{x}{a} + x\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}}\right) + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：通过三角代换简化被积函数
令 x = a sin t，其中 t ∈ [-π/2, π/2]，则 dx = a cos t dt，且 √(a² - x²) = √(a² - a² sin² t) = a|cos t| = a cos t（因为 cos t ≥ 0）。
公式：x = a sin t, dx = a cos t dt, √(a² - x²) = a cos t
提示：选择 t 的范围使得 cos t 非负，避免绝对值处理。
步骤 2/4
目标：将积分转化为关于 t 的积分
代入得 ∫ √(a² - x²) dx = ∫ (a cos t) * (a cos t dt) = a² ∫ cos² t dt。
公式：∫ √(a² - x²) dx = a² ∫ cos² t dt
提示：注意 dx 的替换。
步骤 3/4
目标：利用倍角公式化简被积函数
cos² t = (1 + cos 2t)/2，所以 a² ∫ cos² t dt = a² ∫ (1 + cos 2t)/2 dt = (a²/2) ∫ (1 + cos 2t) dt。
公式：cos² t = (1 + cos 2t)/2
提示：倍角公式是常用技巧。
步骤 4/4
目标：积分并回代变量
积分得 (a²/2)(t + (sin 2t)/2) + C = (a²/2)(t + sin t cos t) + C。由 x = a sin t 得 sin t = x/a，cos t = √(1 - sin² t) = √(1 - x²/a²) = √(a² - x²)/a，t = arcsin(x/a)。代入得 (1/2)(a² arcsin(x/a) + x√(a² - x²)) + C。
公式：∫ cos² t dt = t/2 + sin 2t/4 + C, sin 2t = 2 sin t cos t
提示：回代时注意符号，cos t 取正。
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