新讲 第5章 原函数与不定积分 第12题
📝 题目
例 12 求 $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{{\left( {x}^{2} + {a}^{2}\right) }^{2}}$ .
💡 答案解析
解 令 $x = a\tan t$ ,则 $\mathrm{d}x = \frac{a\mathrm{\;d}t}{{\cos }^{2}t}$ ,我们得到
$$ \int \frac{\mathrm{d}x}{{\left( {x}^{2} + {a}^{2}\right) }^{2}} = \frac{1}{{a}^{3}}\int {\cos }^{2}t\mathrm{\;d}t $$
$$ = \frac{1}{2{a}^{3}}\left( {t + \sin t\cos t}\right) + C $$
$$ = \frac{1}{2{a}^{3}}\left( {t + \frac{\tan t}{{\tan }^{2}t + 1}}\right) + C $$
$$ = \frac{1}{2{a}^{3}}\arctan \frac{x}{a} + \frac{1}{2{a}^{2}}\frac{x}{{x}^{2} + {a}^{2}} + C. $$
在以下两个例子里, 我们用换元积分法计算上节不定积分表最后一行中的两个积分.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：使用三角换元简化积分
令 x = a tan t，则 dx = a / cos^2 t dt，代入积分得 ∫ dx / (x^2 + a^2)^2 = ∫ (a / cos^2 t) dt / (a^2 tan^2 t + a^2)^2 = (1/a^3) ∫ cos^2 t dt。
公式：x = a tan t, dx = a sec^2 t dt, x^2 + a^2 = a^2 sec^2 t
提示：三角换元常用于处理形如 x^2 + a^2 的表达式，选择正切函数简化分母。
步骤 2/3
目标：积分 cos^2 t
利用倍角公式 cos^2 t = (1 + cos 2t)/2，积分得 (1/a^3) ∫ (1 + cos 2t)/2 dt = (1/(2a^3)) (t + (1/2) sin 2t) + C = (1/(2a^3)) (t + sin t cos t) + C。
公式：cos^2 t = (1 + cos 2t)/2, ∫ cos^2 t dt = (t + sin t cos t)/2
提示：使用倍角公式降低幂次，便于积分。
步骤 3/3
目标：将结果用 x 表示
由 x = a tan t 得 t = arctan(x/a)，sin t = x/√(x^2 + a^2)，cos t = a/√(x^2 + a^2)，代入得 (1/(2a^3)) (arctan(x/a) + (x/√(x^2+a^2))*(a/√(x^2+a^2))) + C = (1/(2a^3)) arctan(x/a) + (1/(2a^2)) x/(x^2 + a^2) + C。
公式：sin t = x/√(x^2+a^2), cos t = a/√(x^2+a^2)
提示：利用直角三角形关系将三角函数反代回 x。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。