新讲 第5章 原函数与不定积分 第13题
📝 题目
例 13 求 $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{{x}^{2} + {a}^{2}}}}$ ,这里 $a > 0$
💡 答案解析
解 令 $x = a\tan t$ ,则 $\mathrm{d}x = \frac{a\mathrm{\;d}t}{{\cos }^{2}t}$ . 于是
$$ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{{x}^{2} + {a}^{2}}} = \int \frac{\mathrm{d}t}{\cos t} $$
$$ = \ln \left| {\sec t + \tan t}\right| + {C}_{0} $$
$$ = \ln \left| {\frac{\sqrt{{x}^{2} + {a}^{2}}}{a} + \frac{x}{a}}\right| + {C}_{0} $$
$$ = \ln \left| {x + \sqrt{{x}^{2} + {a}^{2}}}\right| + C, $$
这里 $C = {C}_{0} - \ln a$ 仍是任意常数.
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：进行三角代换
令 x = a tan t，则 dx = a / cos^2 t dt。
公式：x = a tan t, dx = a sec^2 t dt
提示：选择正切代换是因为分母有 x^2 + a^2 形式。
步骤 2/5
目标：化简被积函数
代入得 ∫ dx / sqrt(x^2 + a^2) = ∫ (a sec^2 t dt) / sqrt(a^2 tan^2 t + a^2) = ∫ (a sec^2 t dt) / (a |sec t|)。由于 a>0，且 t 在 (-π/2, π/2) 内 sec t > 0，故 = ∫ sec t dt。
公式：sqrt(x^2 + a^2) = a sec t
提示：注意开方后取绝对值，但代换区间保证 sec t > 0。
步骤 3/5
目标：积分 sec t
∫ sec t dt = ln |sec t + tan t| + C0。
公式：∫ sec t dt = ln |sec t + tan t| + C
提示：这是基本积分公式，可记忆。
步骤 4/5
目标：回代变量
由 x = a tan t 得 tan t = x/a，sec t = sqrt(1+tan^2 t) = sqrt(1 + x^2/a^2) = sqrt(x^2 + a^2)/a。代入得 ln | sqrt(x^2+a^2)/a + x/a | + C0 = ln | x + sqrt(x^2+a^2) | - ln a + C0。
公式：sec t = sqrt(x^2+a^2)/a, tan t = x/a
提示：合并常数项，令 C = C0 - ln a。
步骤 5/5
目标：写出最终结果
所以 ∫ dx / sqrt(x^2 + a^2) = ln | x + sqrt(x^2 + a^2) | + C。
公式：∫ dx/√(x^2+a^2) = ln|x+√(x^2+a^2)|+C
提示：结果中的绝对值可省略，因为 x+√(x^2+a^2) > 0。
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