新讲 第5章 原函数与不定积分 第14题
📝 题目
例 14 求 $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}}}$ ,这里 $\left| x\right| > a > 0$ .
💡 答案解析
解 令 $x = a\sec t$ (对于 $x > a$ 的情形 $0 < t < \pi /2$ ; 对于 $x < - a$ 的情形 $- \pi /2 < t < 0$ ),则 $\mathrm{d}x = a\sec t \cdot \tan t\mathrm{\;d}t$ ,于是
$$ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}} = \int \frac{\mathrm{d}t}{\cos t} $$
$$ = \ln \left| {\sec t + \tan t}\right| + {C}_{0} $$
$$ = \ln \left| {\frac{x}{a} + \sqrt{{\left( \frac{x}{a}\right) }^{2} - 1}}\right| + {C}_{0} $$
$$ = \ln \left| {x + \sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}}\right| + C, $$
这里 $C = {C}_{0} - \ln a$ 仍为任意常数.
注记 从上面的例题中,我们看到: 对于涉及 $\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}$ 或 $\sqrt{{x}^{2} \pm {a}^{2}}$ 的被积函数,有时可以引入一个辅助的 “角变量” $t$ 作为参数.
(1) 对于涉及 $\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}$ 的被积函数,可以令 $x = a\cos t$ 或者 $x = a\sin t$ (见图 5-1).
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/017.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 5-1
(2)对于涉及 $\sqrt{{x}^{2} + {a}^{2}}$ 的被积函数,可以令 $x = a\tan t$ 或者 $x = a\cot t$ (图 5-2).
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/016.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 5-2
(3)对于涉及 $\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}$ 的被积函数,可以令 $x = a\sec t = \frac{a}{\cos t}$ 或者 $x = a\csc t = \frac{a}{\sin t}\left( {\text{ 图 }5 - 3}\right)$ .
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/018.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 5-3