新讲 第5章 原函数与不定积分 第1题
📝 题目
例 1 求 $\displaystyle{\int x\cos x\mathrm{\;d}x,\int x\sin x\mathrm{\;d}x}$ 和 $\displaystyle{\int x{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
解
$$ \int x\cos x\mathrm{\;d}x = \int x\mathrm{\;d}\sin x $$
$$ = x\sin x - \int \sin x\mathrm{\;d}x $$
$$ = x\sin x + \cos x + C\text{ . } $$
$$ \int x\sin x\mathrm{\;d}x = - \int x\mathrm{\;d}\cos x $$
$$ = - x\cos x + \int \cos x\mathrm{\;d}x $$
$$ = - x\cos x + \sin x + C\text{ . } $$
$$ \int x{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x = \int x{\mathrm{\;{de}}}^{x} $$
$$ = x{\mathrm{e}}^{x} - \int {\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = x{\mathrm{e}}^{x} - {\mathrm{e}}^{x} + C $$
$$ = \left( {x - 1}\right) {\mathrm{e}}^{x} + C\text{ . } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：计算 ∫ x cos x dx
将 cos x dx 凑微分得到 d(sin x)，即 ∫ x d(sin x)。
公式：∫ x cos x dx = ∫ x d(sin x)
提示：使用分部积分法，将 cos x 视为 sin x 的导数。
步骤 2/9
目标：应用分部积分公式
根据分部积分公式 ∫ u dv = uv - ∫ v du，令 u = x, dv = d(sin x)，得 x sin x - ∫ sin x dx。
公式：x sin x - ∫ sin x dx
提示：分部积分时，选择 u 为多项式，dv 为易积分的函数。
步骤 3/9
目标：计算剩余积分
∫ sin x dx = -cos x + C，代入得 x sin x + cos x + C。
公式：x sin x + cos x + C
提示：注意符号：∫ sin x dx = -cos x。
步骤 4/9
目标：计算 ∫ x sin x dx
将 sin x dx 凑微分得到 -d(cos x)，即 -∫ x d(cos x)。
公式：∫ x sin x dx = -∫ x d(cos x)
提示：sin x dx = -d(cos x)。
步骤 5/9
目标：应用分部积分公式
令 u = x, dv = d(cos x)，得 -[x cos x - ∫ cos x dx] = -x cos x + ∫ cos x dx。
公式：-x cos x + ∫ cos x dx
提示：注意负号的处理。
步骤 6/9
目标：计算剩余积分
∫ cos x dx = sin x + C，代入得 -x cos x + sin x + C。
公式：-x cos x + sin x + C
提示：最终结果。
步骤 7/9
目标：计算 ∫ x e^x dx
将 e^x dx 凑微分得到 d(e^x)，即 ∫ x d(e^x)。
公式：∫ x e^x dx = ∫ x d(e^x)
提示：e^x dx = d(e^x)。
步骤 8/9
目标：应用分部积分公式
令 u = x, dv = d(e^x)，得 x e^x - ∫ e^x dx。
公式：x e^x - ∫ e^x dx
提示：分部积分后多项式次数降低。
步骤 9/9
目标：计算剩余积分
∫ e^x dx = e^x + C，代入得 x e^x - e^x + C = (x-1)e^x + C。
公式：(x-1)e^x + C
提示：合并同类项。
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