方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.5题

教材习题

📝 题目

6.5.4 设 $V$ 为可测闭区域, $\partial V = S$ 为光滑闭曲面,函数 $u\left( {x,y,z}\right) ,v(x,y$ , $z) \in {C}^{2}\left( V\right)$ . 证明:

$$ {\iint }_{S}v\frac{\partial u}{\partial n}\mathrm{\;d}S = {\iiint }_{v}v\left( {\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {z}^{2}}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z $$

$$ + {\iiint }_{V}\left\lbrack {\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial v}{\partial z}}\right\rbrack \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z, $$

其中 $\mathbf{n}$ 为 $S$ 的外法线方向.

💡 答案解析

6. 5.1 (1) ${4\pi }{R}^{3};\;\left( 2\right) \frac{2}{3}\pi {h}^{3};\;\left( 3\right) 1$ (利用变换求重积分).

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：应用散度定理将曲面积分转化为三重积分
考虑向量场 F = v ∇u，其中 ∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)。则曲面积分 ∬_S v (∂u/∂n) dS = ∬_S F·n dS。由散度定理，∬_S F·n dS = ∭_V div F dV。
公式：div(v ∇u) = ∇v·∇u + v ∇²u
提示：注意外法线方向 n 与梯度方向的关系：∂u/∂n = ∇u·n。
步骤 2/3
目标：计算散度 div(v ∇u)
计算 div(v ∇u) = ∂/∂x(v ∂u/∂x) + ∂/∂y(v ∂u/∂y) + ∂/∂z(v ∂u/∂z) = (∂v/∂x)(∂u/∂x) + v(∂²u/∂x²) + (∂v/∂y)(∂u/∂y) + v(∂²u/∂y²) + (∂v/∂z)(∂u/∂z) + v(∂²u/∂z²) = ∇v·∇u + v ∇²u。
公式：div(v ∇u) = ∇v·∇u + v Δu
提示：Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²。
步骤 3/3
目标：代入散度定理得到结果
由散度定理，∬_S v (∂u/∂n) dS = ∭_V (∇v·∇u + v Δu) dV = ∭_V v Δu dV + ∭_V (∂u/∂x ∂v/∂x + ∂u/∂y ∂v/∂y + ∂u/∂z ∂v/∂z) dV。
公式：∬_S v ∂u/∂n dS = ∭_V v Δu dV + ∭_V ∇u·∇v dV
提示：注意积分区域 V 和曲面 S 的对应关系。

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