方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.5题
📝 题目
6.5.5 设 $V,S$ 条件同上题, $u\left( {x,y,z}\right)$ 为调和函数: $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {z}^{2}} = 0$ ,且
${\left. u\left( x,y,z\right) \right| }_{S} = 0$ (即函数 $u$ 在边界 $S$ 上取值为零). 证明:
$$ u\left( {x,y,z}\right) \equiv 0\;\le
💡 答案解析
6. 5.1 (1) ${4\pi }{R}^{3};\;\left( 2\right) \frac{2}{3}\pi {h}^{3};\;\left( 3\right) 1$ (利用变换求重积分).
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明调和函数在边界为零时恒为零
设 u 是区域 V 内的调和函数，且在边界 S 上 u=0。考虑 u 的梯度模平方的积分，利用散度定理和调和函数性质，证明 u 恒为零。
公式：∫_V |∇u|^2 dV = ∫_V u Δu dV + ∫_S u (∂u/∂n) dS
提示：利用格林第一恒等式或散度定理，结合边界条件 u|_S=0 和 Δu=0。
步骤 2/4
目标：应用格林第一恒等式
格林第一恒等式：∫_V u Δu dV + ∫_V |∇u|^2 dV = ∫_S u (∂u/∂n) dS。由于 Δu=0 且 u|_S=0，左边第一项和右边均为零，因此 ∫_V |∇u|^2 dV = 0。
公式：∫_V u Δu dV + ∫_V |∇u|^2 dV = ∫_S u (∂u/∂n) dS
提示：注意边界条件 u=0 使得面积分为零。
步骤 3/4
目标：由梯度模平方积分为零推出梯度为零
由于 |∇u|^2 ≥ 0 且积分 ∫_V |∇u|^2 dV = 0，可得在 V 内几乎处处有 |∇u|^2 = 0，即 ∇u = 0。因此 u 在 V 内为常数。
公式：∫_V |∇u|^2 dV = 0 ⇒ ∇u = 0 a.e.
提示：非负连续函数的积分为零则函数本身为零。
步骤 4/4
目标：利用边界条件确定常数值
由于 u 在 V 内为常数，且 u 在边界 S 上为零，由连续性，该常数必须为零。因此 u ≡ 0 在 V 内。
公式：u = C, u|_S = 0 ⇒ C = 0
提示：调和函数在区域内连续，边界值决定内部值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。