方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.6题
📝 题目
6.6.5 设 $u = u\left( {x,y,z}\right)$ ,作柱坐标变换: $x = r\cos \theta ,y = r\sin \theta ,z = z$ . 令 ${e}_{r}$ , ${\mathbf{e}}_{\theta }$ , ${\mathbf{e}}_{z} = \mathbf{k}$ 为两两正交的单位向量. 证明
$$ \operatorname{grad}u = \frac{\partial u}{\partial r}{\mathbf{e}}_{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }{\mathbf{e}}_{\theta } + \frac{\partial u}{\partial z}{\mathbf{e}}_{z}. $$
💡 答案解析
6.6.5 根据本节典型例题分析例 4 , 只需证
$$ \frac{\partial u}{\partial {\mathbf{e}}_{r}} = \frac{\partial u}{\partial r},\;\frac{\partial u}{\partial {\mathbf{e}}_{\theta }} = \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta },\;\frac{\partial u}{\partial {\mathbf{e}}_{z}} = \frac{\partial u}{\partial z}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立柱坐标与直角坐标的关系
柱坐标变换：x = r cosθ, y = r sinθ, z = z。单位向量：e_r = (cosθ, sinθ, 0), e_θ = (-sinθ, cosθ, 0), e_z = (0,0,1)。
公式：x = r cosθ, y = r sinθ, z = z
提示：注意e_r和e_θ是正交的，且|e_r|=|e_θ|=1。
步骤 2/5
目标：计算方向导数与偏导数的关系
方向导数定义为∂u/∂e = ∇u·e。对于e_r，有∂u/∂e_r = ∇u·e_r = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)·(cosθ, sinθ, 0) = ∂u/∂x cosθ + ∂u/∂y sinθ。由链式法则，∂u/∂r = ∂u/∂x ∂x/∂r + ∂u/∂y ∂y/∂r = ∂u/∂x cosθ + ∂u/∂y sinθ，故∂u/∂e_r = ∂u/∂r。
公式：∂u/∂e_r = ∂u/∂r
提示：利用链式法则时注意x,y对r的偏导。
步骤 3/5
目标：计算e_θ方向的方向导数
∂u/∂e_θ = ∇u·e_θ = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)·(-sinθ, cosθ, 0) = -∂u/∂x sinθ + ∂u/∂y cosθ。由链式法则，∂u/∂θ = ∂u/∂x ∂x/∂θ + ∂u/∂y ∂y/∂θ = ∂u/∂x (-r sinθ) + ∂u/∂y (r cosθ) = r(-∂u/∂x sinθ + ∂u/∂y cosθ)，所以-∂u/∂x sinθ + ∂u/∂y cosθ = (1/r) ∂u/∂θ，即∂u/∂e_θ = (1/r) ∂u/∂θ。
公式：∂u/∂e_θ = (1/r) ∂u/∂θ
提示：注意∂x/∂θ = -r sinθ, ∂y/∂θ = r cosθ。
步骤 4/5
目标：计算e_z方向的方向导数
∂u/∂e_z = ∇u·e_z = ∂u/∂z，且由链式法则∂u/∂z = ∂u/∂z，故∂u/∂e_z = ∂u/∂z。
公式：∂u/∂e_z = ∂u/∂z
提示：e_z方向与z轴一致。
步骤 5/5
目标：写出梯度在柱坐标下的表达式
梯度grad u = (∂u/∂e_r) e_r + (∂u/∂e_θ) e_θ + (∂u/∂e_z) e_z = (∂u/∂r) e_r + (1/r)(∂u/∂θ) e_θ + (∂u/∂z) e_z。
公式：grad u = ∂u/∂r e_r + (1/r) ∂u/∂θ e_θ + ∂u/∂z e_z
提示：注意方向导数与偏导数的关系已证明。
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