方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.6题
📝 题目
6.6.6 设 $u = u\left( {x,y,z}\right)$ ,作球坐标变换: $x = r\cos \theta \sin \varphi ,y = r\sin \theta \sin \varphi ,z =$ $r\cos \varphi$ . 令 ${\mathbf{e}}_{r},{\mathbf{e}}_{\varphi },{\mathbf{e}}_{\theta }$ 为两两正交的单位向量. 证明
$$ \operatorname{grad}u = \frac{\partial u}{\partial r}{\mathbf{e}}_{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi }{\mathbf{e}}_{\varphi } + \frac{1}{r\sin \varphi }\frac{\partial u}{\partial \theta }{\mathbf{e}}_{\theta }. $$
💡 答案解析
6.6.6 证方向导数 $\frac{\partial u}{\partial {e}_{r}} = \frac{\partial u}{\partial r},\frac{\partial u}{\partial {e}_{\varphi }} = \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi },\frac{\partial u}{\partial {e}_{\theta }} = \frac{1}{r\sin \varphi }\frac{\partial u}{\partial \theta }$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立球坐标与直角坐标的关系
已知球坐标变换：x = r cosθ sinφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosφ，其中r≥0, 0≤φ≤π, 0≤θ<2π。单位向量e_r, e_φ, e_θ分别指向r, φ, θ增加的方向，且两两正交。
公式：x = r cosθ sinφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosφ
提示：注意φ是极角（与z轴夹角），θ是方位角。
步骤 2/3
目标：计算梯度在球坐标下的表达式
梯度grad u在正交曲线坐标系中的一般表达式为：grad u = (1/h1) ∂u/∂q1 e1 + (1/h2) ∂u/∂q2 e2 + (1/h3) ∂u/∂q3 e3，其中h1, h2, h3为拉梅系数。对于球坐标，q1=r, q2=φ, q3=θ，对应的拉梅系数为：h_r=1, h_φ=r, h_θ=r sinφ。代入即得。
公式：grad u = (1/h_r) ∂u/∂r e_r + (1/h_φ) ∂u/∂φ e_φ + (1/h_θ) ∂u/∂θ e_θ
提示：拉梅系数可通过弧长微分ds^2 = dr^2 + r^2 dφ^2 + r^2 sin^2φ dθ^2得到。
步骤 3/3
目标：代入拉梅系数得到最终结果
将h_r=1, h_φ=r, h_θ=r sinφ代入上式，得到：grad u = ∂u/∂r e_r + (1/r) ∂u/∂φ e_φ + (1/(r sinφ)) ∂u/∂θ e_θ。
公式：grad u = ∂u/∂r e_r + (1/r) ∂u/∂φ e_φ + (1/(r sinφ)) ∂u/∂θ e_θ
提示：注意方向导数与梯度分量的关系：∂u/∂e_r = ∂u/∂r, ∂u/∂e_φ = (1/r)∂u/∂φ, ∂u/∂e_θ = (1/(r sinφ))∂u/∂θ。
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