方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.6题
📝 题目
6.6.7 设物体 $\Omega$ 以一定的角速度 $\omega$ 绕轴 $l = \left( {\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma }\right)$ 旋转.
(1)求物体 $\Omega$ 上各点的速度,即求速度场 $v$ ； (2) 求 $\operatorname{rot}v$ .
💡 答案解析
6.6.7 (1) $v = {\omega l} \times r$ ; (2) rot $v = {2\omega l}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立坐标系并确定旋转轴方向
设旋转轴 l 为单位向量 (cosα, cosβ, cosγ)，物体绕该轴以角速度 ω 旋转。取物体上任意一点的位置向量为 r = (x, y, z)。
公式：l = (cosα, cosβ, cosγ)
提示：注意 l 是单位向量，cos²α+cos²β+cos²γ=1。
步骤 2/3
目标：写出速度场 v 的表达式
根据刚体旋转运动学，物体上任意点的速度等于角速度向量与位置向量的叉积。角速度向量为 ω = ω l，因此 v = ω × r = ω l × r。
公式：v = ω l × r
提示：叉积方向由右手定则确定。
步骤 3/3
目标：计算旋度 rot v
旋度 rot v = ∇ × v。由于 v = ω l × r，利用向量恒等式 ∇ × (a × r) = 2a（当 a 为常向量时），其中 a = ω l，故 rot v = 2ω l。
公式：rot v = ∇ × (ω l × r) = 2ω l
提示：注意 l 是常向量，ω 是常数。
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