方企勤 第一章 分析基础 第6题

教材习题

📝 题目

例 6 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续,对于区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 中的每一个点 $x$ , 总存在 $y \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得 $\left| {f\left( y\right) }\right| \leq \frac{1}{2}\left| {f\left( x\right) }\right|$ . 求证: 至少存在一点 $\xi \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得 $f\left( \xi \right) = 0$ .

💡 答案解析

证 用反证法. 如果函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上没有零点,那么函数 $\left| {f\left( x\right) }\right|$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上也没有零点. 因为 $\left| {f\left( x\right) }\right|$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续,所以 $\left| {f\left( x\right) }\right| > 0$ . 根据闭区间连续函数的性质,必存在最小值,即存在点 $\xi \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得

$$ \left| {f\left( \xi \right) }\right| = \mathop{\min }\limits_{{a \leq x \leq b}}\{ \left| {f\left( x\right) }\right| \} > 0. $$

由题设条件知,在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 内存在 $y \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得

$$ \left| {f\left( y\right) }\right| \leq \frac{1}{2}\left| {f\left( \xi \right) }\right| < \left| {f\left( \xi \right) }\right| . $$

这与 $\left| {f\left( \xi \right) }\right|$ 是最小值相矛盾,所以函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上至少有一个零点.

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：假设结论不成立，即f(x)在[a,b]上无零点
用反证法。假设对任意x∈[a,b]，f(x)≠0，则|f(x)|>0。
提示：反证法常用于证明存在性命题。
步骤 2/4
目标：利用连续函数性质得到|f(x)|的最小值
由于|f(x)|在闭区间[a,b]上连续，故存在最小值，设最小值点为ξ，则|f(ξ)|=min_{x∈[a,b]}|f(x)|>0。
公式：|f(ξ)| = \min_{a \leq x \leq b} |f(x)| > 0
提示：闭区间上连续函数必有最大值和最小值。
步骤 3/4
目标：应用题设条件导出矛盾
由题设，存在y∈[a,b]使得|f(y)| ≤ (1/2)|f(ξ)| < |f(ξ)|，这与|f(ξ)|是最小值矛盾。
公式：|f(y)| \leq \frac{1}{2}|f(\xi)| < |f(\xi)|
提示：注意严格不等式，因为|f(ξ)|>0。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此假设不成立，故至少存在一点ξ∈[a,b]使得f(ξ)=0。
提示：反证法完成。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第5题 返回列表 第7题 →