方企勤 第一章 分析基础 第7题

教材习题

📝 题目

例 7 设 $f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( {f\left( x\right) }\right) = \infty$ . 求证:

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right) = \infty \text{ . } $$

💡 答案解析

证 用反证法. 假设结论不成立. 那么 $\exists A > 0$ ,对于 $\forall X$ , $\exists x$ , $\left| x\right| > X$ ,使得 $\left| {f\left( x\right) }\right| \leq A$ . 取 $X = 1,2,\cdots$ ,相应产生序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ ,满足

$$ \left| {x}_{n}\right| > n,\;\left| {f\left( {x}_{n}\right) }\right| \leq A\;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) . $$

又由于 $f\left( x\right) \in C\left\lbrack {-A,A}\right\rbrack$ ,推知 $\exists M > 0$ ,使得

$$ \left| {f\left( {f\left( x\right) }\right) }\right| \leq M,\;\forall x \in \left\lbrack {-A,A}\right\rbrack . $$

于是 $\left| {f\left( {f\left( {x}_{n}\right) }\right) }\right| \leq M$ . 但是由 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( {f\left( x\right) }\right) = \infty$ 推出 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {f\left( {x}_{n}\right) }\right) =$ $\displaystyle{\infty}$ ,即得矛盾. 故反证法假设不成立,即结论成立.

提问 如下证明, 你认为对吗? 也是用反证法. 假设结论不成立,

那么 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right) \neq \infty$ ,从而

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right) = A\text{ (有限数) } \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( {f\left( x\right) }\right) = f\left( A\right) , $$

这与 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( {f\left( x\right) }\right) = \infty$ 矛盾,结论得证.

解答 这个证明是错误的, 因为它把结论的反面叙述搞错了. 事实上, $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right) = \infty$ 的反面有如下两种可能: ① 广义极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right)$ 不存在; ② 广义极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right)$ 存在,但是极限值是有限数 $A$ . 上述证明中, 反面叙述的错误就在于遗漏了可能性①.

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：明确要证明的结论
要证明：若 f(x) 在 R 上连续，且 lim_{x→∞} f(f(x)) = ∞，则 lim_{x→∞} f(x) = ∞。
提示：注意极限是 x→∞ 时的广义极限，即 x 趋于正无穷或负无穷？题目中 x→∞ 通常指 |x|→∞，但此处应理解为 x→+∞？原题写 x→∞，但答案中取 |x|>X，故理解为 |x|→∞。
步骤 2/6
目标：反证法假设
假设结论不成立，即 lim_{x→∞} f(x) ≠ ∞。这意味着存在某个 A>0，使得对任意 X>0，存在 x 满足 |x|>X 且 |f(x)|≤A。
提示：注意：lim f(x)=∞ 的定义是：对任意 M>0，存在 X>0，当 |x|>X 时，|f(x)|>M。其否定是：存在 M>0，对任意 X>0，存在 x 满足 |x|>X 且 |f(x)|≤M。
步骤 3/6
目标：构造序列
取 X=1,2,3,...，相应得到序列 {x_n}，满足 |x_n|>n 且 |f(x_n)|≤A。
提示：这是利用反证假设构造一个无界点列，使得函数值有界。
步骤 4/6
目标：利用连续性得到有界性
由于 f 在闭区间 [-A,A] 上连续，故有界，即存在 M>0，使得对任意 y∈[-A,A]，有 |f(y)|≤M。特别地，取 y=f(x_n)，则 |f(f(x_n))|≤M。
提示：连续函数在闭区间上有界。
步骤 5/6
目标：导出矛盾
由条件 lim_{x→∞} f(f(x)) = ∞，特别地，当 x=x_n 且 n→∞ 时，|x_n|→∞，应有 lim_{n→∞} f(f(x_n)) = ∞，即对任意 M>0，当 n 充分大时，|f(f(x_n))|>M。这与上一步得到的 |f(f(x_n))|≤M 矛盾。
提示：注意：由极限定义，若 lim_{x→∞} g(x)=∞，则对任意子列 x_n→∞，有 g(x_n)→∞。
步骤 6/6
目标：结论
因此反证假设不成立，故 lim_{x→∞} f(x)=∞。

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