方企勤 第一章 分析基础 第9题
📝 题目
例 9 设 $f\left( x\right)$ 在(a, b)上一致连续. 求证:
(1) $\exists \delta > 0$ ,使得对于 $\forall {x}_{0}$ ,当 $x \in \left( {a,b}\right) \cap \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right)$ 时,有
$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \leq f\left( {x}_{0}\right) + 1. $$
(2) $f\left( x\right)$ 在(a, b)上有界.
💡 答案解析
证 (1) 由 $f\left( x\right)$ 的一致连续性,对 $\varepsilon = 1,\exists \delta > 0$ ,当 $x \in \left( {a,b}\right) \cap$ $\left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right)$ 时,有
$$ \left| {f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right| < 1 \Rightarrow \left| {f\left( x\right) }\right| \leq \left| {f\left( {x}_{0}\right) }\right| + 1. $$
(2)利用第 (1) 小题中的 $\delta$ ,把(a, b)分成 $n$ 个小区间,设分点为 $a = {x}_{0} < {x}_{1} < \cdots < {x}_{n} = b$ ,使得 $\mathop{\lim }\limits_{{1 \leq k \leq n}}\left( {{x}_{k} - {x}_{k - 1}}\right) < \delta$ ,令
$$ M = \mathop{\max }\limits_{{1 \leq k \leq n - 1}}\left\{ {\left| {f\left( {x}_{k}\right) }\right| + 1}\right\} . $$
对 $\forall x \in \left( {a,b}\right) ,\exists k\left( {1 \leq k \leq n}\right)$ ,使得 $x \in \left\lbrack {{x}_{k - 1},{x}_{k}}\right\rbrack$ ,于是利用第 (1)小题,有
$$ \left| {f\left( x\right) - f\left( {x}_{k}\right) }\right| < 1\;\left( {1 \leq k \leq n - 1}\right) , $$
或
$$ \left| {f\left( x\right) - f\left( {x}_{k - 1}\right) }\right| < 1\;\left( {2 \leq k \leq n}\right) , $$
并由此推出 $\left| {f\left( x\right) }\right| \leq M$ .