方企勤 第二章 一元函数微分学 第14题
📝 题目
例 14 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续,在(a, b)内可导, $f\left( a\right) = f\left( b\right)$ , 且 $f\left( x\right)$ 不恒为常数. 求证: 存在 $\xi \in \left( {a,b}\right)$ ,使得 ${f}^{\prime }\left( \xi \right) > 0$ .
💡 答案解析
证 用反证法. 若 $\forall x \in \left( {a,b}\right)$ 都有 ${f}^{\prime }\left( x\right) \leq 0$ ,则 $f\left( x\right)$ 在(a, b) 内单调下降. 因此
$$ \forall x \in \left( {a,b}\right) \Rightarrow f\left( a\right) \geq f\left( x\right) \geq f\left( b\right) $$
$$ \because f\left( a\right) = f\left( b\right) \;f\left( x\right) = f\left( a\right) , $$
即 $f\left( x\right) \equiv f\left( a\right)$ ,与 $f\left( x\right)$ 不恒为常数矛盾. 从而存在 $\xi \in \left( {a,b}\right)$ ,使得
$$ {f}^{\prime }\left( \xi \right) > 0\text{ . } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：假设结论不成立，即假设所有点的导数都≤0
用反证法。假设对于任意x∈(a,b)，都有f'(x)≤0。
提示：反证法常用于证明存在性命题。
步骤 2/4
目标：由导数非正推出函数单调递减
由于f'(x)≤0，根据导数与单调性的关系，f(x)在(a,b)内单调不增（单调下降）。
公式：f'(x)≤0 ⇒ f(x)单调递减
提示：导数小于等于0推出函数单调不增。
步骤 3/4
目标：利用单调性和端点函数值相等推出函数为常数
由单调不增，对任意x∈(a,b)，有f(a)≥f(x)≥f(b)。又因为f(a)=f(b)，所以f(a)≥f(x)≥f(a)，从而f(x)=f(a)。因此f(x)恒等于常数f(a)。
公式：f(a)≥f(x)≥f(b) 且 f(a)=f(b) ⇒ f(x)=f(a)
提示：注意不等式两边夹逼得到等式。
步骤 4/4
目标：与已知条件矛盾，从而原结论成立
这与题目中“f(x)不恒为常数”矛盾。因此假设不成立，故存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)>0。
提示：反证法得出矛盾后，原命题得证。
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