方企勤 第二章 一元函数微分学 第15题
📝 题目
例 15 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上连续,在(0,1)内可导, $f\left( 0\right) = 0$ . 求证: 如果 $f\left( x\right)$ 在(0,1)上不恒等于零,则存在 $\xi \in \left( {0,1}\right)$ ,使得
$$ f\left( \xi \right) \cdot {f}^{\prime }\left( \xi \right) > 0. $$
💡 答案解析
证 用反证法. 如果不存在 $\xi \in \left( {0,1}\right)$ ,使得 $f\left( \xi \right) \cdot {f}^{\prime }\left( \xi \right) > 0$ ,即对 $\forall x \in \left( {0,1}\right)$ ,有
$$ f\left( x\right) {f}^{\prime }\left( x\right) \leq 0 \Rightarrow {\left\lbrack {f}^{2}\left( x\right) \right\rbrack }^{\prime } = {2f}\left( x\right) {f}^{\prime }\left( x\right) \leq 0\left( {\forall x \in \left( {0,1}\right) }\right) $$
$$ \Rightarrow {f}^{2}\left( x\right) \text{ 在 }\left( {0,1}\right) \text{ 内单调下降. } $$
又 $f\left( 0\right) = 0$ ,故有
$$ 0 \leq {f}^{2}\left( x\right) \leq {f}^{2}\left( 0\right) = 0 \Rightarrow {f}^{2}\left( x\right) = 0\left( {\forall x \in \left( {0,1}\right) }\right) $$
$$ \Rightarrow f\left( x\right) = 0\left( {\forall x \in \left( {0,1}\right) }\right) \text{ . } $$
又 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上连续,进一步有
$$ f\left( 0\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + 0}}f\left( x\right) = 0,\;f\left( 1\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 1 - 0}}f\left( x\right) = 0. $$
于是 $f\left( x\right) \equiv 0\left( {\forall x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right)$ ,与 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上不恒等于零矛盾.