方企勤 第二章 一元函数微分学 第17题
📝 题目
例 17 设 $x > 0$ 时,方程
$$ {kx} + \frac{1}{{x}^{2}} = 1 \tag{6.20} $$
只有一个解,求 $k$ 的取值范围.
💡 答案解析
解法 1 显然, 方程 (6.20) 与如下方程是同解的:
$$ \frac{1}{x} - \frac{1}{{x}^{3}} = k\;\left( {x > 0}\right) . \tag{6.21} $$
求方程 (6.21) 的解就是求直线 $y = k$ 与曲线 $y = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x}^{3}}$ 的交点,当 $k$ 变化时,直线 $y = k$ 形成一族平行于 $x$ 轴的直线. 作辅助函数 $f\left( x\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x}^{3}} = \frac{\left( {x - 1}\right) \left( {x + 1}\right) }{{x}^{3}}$ ,则
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}f\left( x\right) = - \infty , $$
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{\left( {\sqrt{3} - x}\right) \left( {\sqrt{3} + x}\right) }{{x}^{4}}\left\{ \begin{array}{ll} > 0 & \left( {0 < x < \sqrt{}}\right) \\ = 0 & \left( {x = \sqrt{3}}\right) , \\ < 0 & \left( {x > \sqrt{3}}\right) . \end{array}\right. $$
由此可见, $\mathop{\max }\limits_{{x > 0}}f\left( x\right) = f\left( \sqrt{3}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{9}$ . 从 $y = f\left( x\right)$ 的图形 (见图 2.9) 可知,当 $k = \frac{2\sqrt{3}}{9}$ 或 $k \leq 0$ 时,方程 (6.21) 只有一个解; 当 $k >$ $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ 时,直线 $y = k$ 与曲线 $y = f\left( x\right)$ 无交点; 当 $0 < k < \frac{2\sqrt{3}}{9}$ 时,直线 $y = k$ 与曲线 $y = f\left( x\right)$ 有两个交点. 于是当 $k = \frac{2\sqrt{3}}{9}$ 或 $k \leq 0$ 时, 方程 (6.20) 只有一个解; 而当 $0 < k < \frac{2\sqrt{3}}{9}$ 或 $k > \frac{2\sqrt{3}}{9}$ 时,方程 (6.20) 有两个解或无解.
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/016.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 2.9
解法 2 作辅助函数 $g\left( x\right) = {kx} + \frac{1}{{x}^{2}} - 1\left( {x > 0}\right)$ ,则
$$ {g}^{\prime }\left( x\right) = k - \frac{2}{{x}^{3}},\;{g}^{\prime \prime }\left( x\right) = \frac{6}{{x}^{4}} > 0\;\left( {x > 0}\right) . $$
(1)当 $k \leq 0$ 时, ${g}^{\prime }\left( x\right)$ 为严格单调递减函数,并且有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}g\left( x\right) = + \infty ,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} - \infty & \left( {k < 0}\right) , \\ - 1 & \left( {k = 0}\right) . \end{array}\right. $$
这时方程 (6.20) 只有一个解.
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/017.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 2.10
(2)当 $k > 0$ 时,由 ${g}^{\prime }\left( x\right) = 0$ 知 $x = \sqrt[3]{\frac{2}{k}}$ ,这是惟一极值点,由于 ${g}^{\prime \prime }\left( x\right) > 0,g\left( \sqrt[3]{\frac{2}{k}}\right)$ 是最小值.
$$ g\left( \sqrt[3]{\frac{2}{k}}\right) = 0 \Rightarrow k = \frac{2\sqrt{3}}{9}. $$
这时 $y = g\left( x\right)$ 的图形 (见图 2.10) 与 $x$ 轴相切,这时方程 (6.20) 只有一个解,而当 $0 < k < \frac{2\sqrt{3}}{9}$ 或 $k > \frac{2\sqrt{3}}{9}$ 时, $y = g\left( x\right)$ 的图形与 $x$ 轴有两个交点或无交点. 由此可见,当 $k = \frac{2\sqrt{3}}{9}$ 或 $k \leq 0$ 时,方程 (6.20) 只有一个解.
解法 3 求方程 (6.20) 的解就是求直线 $y = {kx}$ 与曲线
$$ y = 1 - \frac{1}{{x}^{2}}\;\left( {x > 0}\right) $$
的交点,当 $k$ 变化时,直线 $y = {kx}$ 形成一族过原点的直线. 作辅助函数 $h\left( x\right) = 1 - \frac{1}{{x}^{2}}$ ,则有
$$ {h}^{\prime }\left( x\right) = \frac{2}{x},\;{h}^{\prime \prime }\left( x\right) = - \frac{6}{{x}^{4}} < 0\;\left( {x > 0}\right) , $$
从而函数 $y = h\left( x\right)$ 是在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上的上凸函数. 曲线 $y = h\left( x\right)$ 上的任一点 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 处的切线方程为
$$ y = 1 - \frac{1}{{x}_{0}^{2}} + \frac{2}{{x}_{0}^{3}}\left( {x - {x}_{0}}\right) = \frac{2}{{x}_{0}^{3}}x + 1 - \frac{3}{{x}_{0}^{2}}. $$
由此可见,当 ${x}_{0} = \sqrt{3}$ 时,切线通过原点,这时切线的斜率为 $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ . 于是从图形 (见图 2.11) 可知,当 $k = \frac{2\sqrt{3}}{9}$ 或 $k \leq 0$ 时,方程 (6.20) 只有一个解.
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/018.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 2.11