方企勤 第二章 一元函数微分学 第18题
📝 题目
例 18 求方程 ${x}^{3} = {3px} + q\left( {p > 0}\right)$ 恰有三个实根的条件.
💡 答案解析
解 令 $f\left( x\right) = {x}^{3} - {3px}$ ,如图 2.12 所示.
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = 3{x}^{2} - {3p}\overset{\text{ 令 }}{ \Rightarrow }0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{p}, $$
$$ {f}^{\prime \prime }\left( x\right) = {6x}, $$
$$ f\left( \sqrt{p}\right) = - 2{p}^{\frac{3}{2}},\;f\left( {-\sqrt{p}}\right) = 2{p}^{\frac{3}{2}}. $$
由图可见,当 $\left| q\right| < {2p}\sqrt{p}$ 时,方程 ${x}^{3} = {3px} + q$ 恰有三个实根.
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/019.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 2.12
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造函数并求导
令 f(x) = x^3 - 3px，则方程变为 f(x) = q。求导得 f'(x) = 3x^2 - 3p。
公式：f'(x) = 3x^2 - 3p
提示：注意 p>0，所以 f'(x)=0 有两个实根。
步骤 2/4
目标：求极值点
令 f'(x)=0，解得 x = ±√p。计算二阶导数 f''(x)=6x，判断极值：f''(√p)=6√p>0，故 x=√p 为极小值点；f''(-√p)=-6√p<0，故 x=-√p 为极大值点。
公式：f''(x)=6x
提示：二阶导数符号决定极值类型。
步骤 3/4
目标：计算极值
计算极值：f(√p) = (√p)^3 - 3p√p = -2p^(3/2)；f(-√p) = (-√p)^3 - 3p(-√p) = 2p^(3/2)。
公式：f(√p) = -2p^(3/2), f(-√p) = 2p^(3/2)
提示：注意符号计算。
步骤 4/4
目标：分析图像与实根条件
函数 f(x) 是三次函数，极大值为 2p^(3/2)，极小值为 -2p^(3/2)。方程 f(x)=q 恰有三个实根当且仅当 q 介于极小值和极大值之间，即 -2p^(3/2) < q < 2p^(3/2)，即 |q| < 2p√p。
公式：|q| < 2p√p
提示：三次函数有三个实根的条件是常数项介于两个极值之间。
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