方企勤 第三章 一元函数积分学 第19题

教材习题

📝 题目

例 19 求不定积分 $\displaystyle{\int \frac{{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x}{{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}}}$ .

💡 答案解析

解法 1 原式 $= \int \frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{1 + {\mathrm{e}}^{2x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}\left( {{\mathrm{e}}^{2x} + 1}\right) }{1 + {\mathrm{e}}^{2x}} = \frac{1}{2}\ln \left( {1 + {\mathrm{e}}^{2x}}\right) + C$ .

解法 2 令 $\displaystyle{I = \int \frac{{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x}{{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}},J = \int \frac{{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\;d}x}{{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}}}$ ,则有

$$ I + J = \int \frac{\left( {{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}}\right) \mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}} = x + C, $$

$$ I - J = \int \frac{\left( {{\mathrm{e}}^{x} - {\mathrm{e}}^{-x}}\right) \mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}} = \ln \left( {{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}}\right) + C. $$

由此解出

$$ \text{ 原式 } = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\ln \left( {{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}}\right) + C\text{ . } $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：将积分转化为关于 e^{2x} 的形式
分子分母同乘以 e^x，得到 ∫ e^{2x} / (1 + e^{2x}) dx
公式：∫ e^x dx / (e^x + e^{-x}) = ∫ e^{2x} / (1 + e^{2x}) dx
提示：乘以 e^x 是为了简化分母，使分母变为 1+e^{2x}
步骤 2/3
目标：凑微分
注意到 d(e^{2x}+1) = 2e^{2x} dx，所以 ∫ e^{2x}/(1+e^{2x}) dx = (1/2) ∫ d(1+e^{2x})/(1+e^{2x})
公式：∫ e^{2x}/(1+e^{2x}) dx = (1/2) ∫ d(1+e^{2x})/(1+e^{2x})
提示：凑微分时注意系数调整
步骤 3/3
目标：积分得到结果
∫ d(1+e^{2x})/(1+e^{2x}) = ln(1+e^{2x}) + C，乘以 1/2 得 (1/2) ln(1+e^{2x}) + C
公式：(1/2) ln(1+e^{2x}) + C
提示：注意绝对值，但 1+e^{2x}>0 恒成立

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