方企勤 第三章 一元函数积分学 第20题
📝 题目
证 因为
$$ {I}_{n} - {I}_{n - 2} = \int \frac{\sin {nx} - \sin \left( {n - 2}\right) x}{\sin x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = 2\int \frac{\cos \left( {n - 1}\right) x\sin x}{\sin x}\mathrm{\;d}x, $$
所以
$$ {I}_{n} = \frac{2}{n - 1}\sin \left( {n - 1}\right) x + {I}_{n - 2}\;\left( {n > 2}\right) . $$
评注 建立积分递推公式, 主要是用分部积分法, 但并非只有分部积分法可用, 本题用分部积分法就很难奏效.
💡 答案解析
证 因为
$$ {I}_{n} - {I}_{n - 2} = \int \frac{\sin {nx} - \sin \left( {n - 2}\right) x}{\sin x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = 2\int \frac{\cos \left( {n - 1}\right) x\sin x}{\sin x}\mathrm{\;d}x, $$
所以
$$ {I}_{n} = \frac{2}{n - 1}\sin \left( {n - 1}\right) x + {I}_{n - 2}\;\left( {n > 2}\right) . $$
评注 建立积分递推公式, 主要是用分部积分法, 但并非只有分部积分法可用, 本题用分部积分法就很难奏效.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立递推关系
考虑 I_n - I_{n-2}，利用三角恒等式 sin(nx) - sin((n-2)x) = 2 cos((n-1)x) sin x，化简被积函数。
公式：sin(nx) - sin((n-2)x) = 2 cos((n-1)x) sin x
提示：注意使用和差化积公式。
步骤 2/4
目标：化简积分
将化简后的表达式代入积分，消去分母中的 sin x，得到 I_n - I_{n-2} = 2 ∫ cos((n-1)x) dx。
公式：I_n - I_{n-2} = 2 ∫ cos((n-1)x) dx
提示：积分后注意加上常数，但递推公式中常数可合并。
步骤 3/4
目标：计算积分
计算 ∫ cos((n-1)x) dx = (1/(n-1)) sin((n-1)x) + C，因此 I_n - I_{n-2} = (2/(n-1)) sin((n-1)x) + C。
公式：∫ cos(kx) dx = (1/k) sin(kx) + C
提示：注意 n>2 以保证分母不为零。
步骤 4/4
目标：得出递推公式
移项得到 I_n = (2/(n-1)) sin((n-1)x) + I_{n-2} + C，由于不定积分常数可吸收，通常写为 I_n = (2/(n-1)) sin((n-1)x) + I_{n-2}。
公式：I_n = (2/(n-1)) sin((n-1)x) + I_{n-2}
提示：递推公式适用于 n>2。
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