方企勤 第三章 一元函数积分学 第21题

教材习题

📝 题目

例 21 求不定积分 $I = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{{\left( x + 1\right) }^{2}{\left( x - 1\right) }^{4}}}$ .

💡 答案解析

解法 1 记 $h\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\sqrt[3]{{\left( x + 1\right) }^{2}{\left( x - 1\right) }^{4}} = \left( {{x}^{2} - 1}\right) \sqrt[3]{\frac{x - 1}{x + 1}}$ ,并令 $t = \sqrt[3]{\frac{x - 1}{x + 1}}$ ,利用对数微分法,则有

$$ \frac{\mathrm{d}t}{t} = \frac{\mathrm{d}x}{3\left( {x - 1}\right) } - \frac{\mathrm{d}x}{3\left( {x + 1}\right) } \Rightarrow \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2} - 1} = \frac{3\mathrm{\;d}t}{2t}, $$

$$ I = \int \frac{\mathrm{d}x}{h\left( x\right) } = \int \frac{3\mathrm{\;d}t}{2{t}^{2}} = - \frac{3}{2t} + C = - \frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x - 1}} + C. $$

解法 2 记 $h\left( x\right) = \sqrt[3]{{\left( x + 1\right) }^{2}{\left( x - 1\right) }^{4}} = {\left( x - 1\right) }^{2} \cdot \sqrt[3]{{\left( \frac{x + 1}{x - 1}\right) }^{2}}$ , 并令 $t = \sqrt[3]{\frac{x + 1}{x - 1}}$ ,则有

$$ {t}^{3} = 1 + \frac{2}{x - 1} \Rightarrow 3{t}^{2}\mathrm{\;d}t = - \frac{2\mathrm{\;d}x}{{\left( x - 1\right) }^{2}}, $$

从而

$$ I = \int \frac{\mathrm{d}x}{h\left( x\right) } = \int - \frac{3{t}^{2}\mathrm{\;d}t}{2{t}^{2}} = - \frac{3}{2}t + C = - \frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x - 1}} + C. $$

解法 ${3h}\left( x\right) = \sqrt[3]{{\left( x + 1\right) }^{2}{\left( x - 1\right) }^{4}} = {\left( x - 1\right) }^{2} \cdot \sqrt[3]{{\left( 1 + \frac{2}{x - 1}\right) }^{2}}$ , 并令 $t = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ,则有

$$ \mathrm{d}t = - \frac{2\mathrm{\;d}x}{{\left( x - 1\right) }^{2}}, $$

$$ I = \int \frac{\mathrm{d}x}{h\left( x\right) } = - \frac{1}{2}\int {t}^{-\frac{2}{3}}\mathrm{\;d}t = - \frac{3}{2}\sqrt[3]{t} + C, $$

即得

$$ I = - \frac{3}{2}{\left( \frac{x + 1}{x - 1}\right) }^{\frac{1}{3}} + C. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：将原积分转化为有理函数积分
首先，将被积函数变形为 h(x) = (x^2-1) * ((x-1)/(x+1))^(1/3)。然后令 t = ((x-1)/(x+1))^(1/3)，利用对数微分法得到 dt/t = dx/(3(x-1)) - dx/(3(x+1))，进而得到 dx/(x^2-1) = 3dt/(2t)。于是原积分化为 I = ∫ 3dt/(2t^2)。
公式：t = \sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}, \quad \frac{dx}{x^2-1} = \frac{3}{2}\frac{dt}{t}
提示：注意对数微分法的使用：对 t 取自然对数再微分。
步骤 2/3
目标：计算简化后的积分
计算 I = ∫ 3dt/(2t^2) = -3/(2t) + C。
公式：\int \frac{3}{2t^2} dt = -\frac{3}{2t} + C
提示：幂函数积分公式：∫ t^n dt = t^(n+1)/(n+1) + C (n≠-1)。
步骤 3/3
目标：回代得到最终结果
将 t = ((x-1)/(x+1))^(1/3) 代入，得到 I = -3/2 * ((x+1)/(x-1))^(1/3) + C。
公式：I = -\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} + C
提示：注意 t 的倒数关系：1/t = ((x+1)/(x-1))^(1/3)。

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