方企勤 第三章 一元函数积分学 第3题
📝 题目
解 原式 $= {\left. \arctan x\right| }_{-1}^{1} = \frac{\pi }{4} - \left( {-\frac{\pi }{4}}\right) = \frac{\pi }{2}$ .
提问 本题如下计算是否正确?
$$ \text{ 原式 } = - {\int }_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}\left( \frac{1}{x}\right) }{1 + {\left( \frac{1}{x}\right) }^{2}} = - {\left. \arctan \frac{1}{x}\right| }_{-1}^{1} = - \frac{\pi }{2}. $$
解答 由定积分的几何意义, 原式积分所表示的曲边梯形面积应为正的, 因此积分值为负数肯定有错误. 错误的原因在于函数 $F\left( x\right) = - \arctan \frac{1}{x}$ 在点 $x = 0$ 处不连续.
💡 答案解析
解 原式 $= {\left. \arctan x\right| }_{-1}^{1} = \frac{\pi }{4} - \left( {-\frac{\pi }{4}}\right) = \frac{\pi }{2}$ .
提问 本题如下计算是否正确?
$$ \text{ 原式 } = - {\int }_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}\left( \frac{1}{x}\right) }{1 + {\left( \frac{1}{x}\right) }^{2}} = - {\left. \arctan \frac{1}{x}\right| }_{-1}^{1} = - \frac{\pi }{2}. $$
解答 由定积分的几何意义, 原式积分所表示的曲边梯形面积应为正的, 因此积分值为负数肯定有错误. 错误的原因在于函数 $F\left( x\right) = - \arctan \frac{1}{x}$ 在点 $x = 0$ 处不连续.