方企勤第三章一元函数积分学第4题

📝 题目

解因为积分区间在 $\left\lbrack {-2, - \sqrt{2}}\right\rbrack$ 上,所以 $\left| x\right| = - x$ ,故有

$$ \text{ 原式 } = - {\int }_{-2}^{-\sqrt{2}}\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2}\sqrt{1 - \frac{1}{{x}^{2}}}} = {\int }_{-2}^{-\sqrt{2}}\frac{\mathrm{d}\left( \frac{1}{x}\right) }{\sqrt{1 - {\left( \frac{1}{x}\right) }^{2}}} $$

$$ = {\left. \arcsin \frac{1}{x}\right| }_{-2}^{-\sqrt{2}} = - \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} + \arcsin \frac{1}{2} $$

$$ = - \frac{\pi }{12}\text{ . } $$

💡 答案解析

解因为积分区间在 $\left\lbrack {-2, - \sqrt{2}}\right\rbrack$ 上,所以 $\left| x\right| = - x$ ,故有

$$ \text{ 原式 } = - {\int }_{-2}^{-\sqrt{2}}\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2}\sqrt{1 - \frac{1}{{x}^{2}}}} = {\int }_{-2}^{-\sqrt{2}}\frac{\mathrm{d}\left( \frac{1}{x}\right) }{\sqrt{1 - {\left( \frac{1}{x}\right) }^{2}}} $$

$$ = {\left. \arcsin \frac{1}{x}\right| }_{-2}^{-\sqrt{2}} = - \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} + \arcsin \frac{1}{2} $$

$$ = - \frac{\pi }{12}\text{ . } $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4

目标：处理绝对值

由于积分区间为[-2, -√2]，x为负，所以|x| = -x。将被积函数中的|x|替换为-x。

公式：|x| = -x

提示：注意积分区间内x的符号，正确去掉绝对值。

步骤 2/4

目标：化简被积函数

原积分变为 -∫_{-2}^{-√2} dx / [x^2 √(1 - 1/x^2)]。注意到dx/x^2 = -d(1/x)，所以进一步化为 ∫_{-2}^{-√2} d(1/x) / √(1 - (1/x)^2)。

公式：-∫ dx/(x^2√(1-1/x^2)) = ∫ d(1/x)/√(1-(1/x)^2)

提示：利用微分关系d(1/x) = -dx/x^2。

步骤 3/4

目标：换元积分

令u = 1/x，则积分变为 ∫_{u(-2)}^{u(-√2)} du/√(1-u^2) = arcsin u 在对应点的差值。

公式：∫ du/√(1-u^2) = arcsin u + C

提示：换元后注意积分上下限的变化。

步骤 4/4

目标：代入上下限

计算 arcsin(1/x) 在 x=-√2 和 x=-2 的值：arcsin(1/(-√2)) = arcsin(-1/√2) = -π/4，arcsin(1/(-2)) = arcsin(-1/2) = -π/6。所以结果为 (-π/6) - (-π/4) = π/12，但注意原积分有负号，最终结果为 -π/12。

公式：arcsin(1/x)|_{-2}^{-√2} = arcsin(-1/2) - arcsin(-1/√2) = -π/6 + π/4 = π/12

提示：注意arcsin是奇函数，arcsin(-a) = -arcsin(a)。

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方企勤 第三章 一元函数积分学 第4题

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